TJieorie der Derivationen. 153 



dann wird die analoge Bezeichnung für das Deriviren lauten: 



F{z,n)=D"f{z). 



Stellen wir diese Gleichung um, indem wir, wie gebräuchlich, die auszuführende Operation linker Ilaud 

 anzeigen und rechter Hand das fertige Resultat angeben, also 



. D"f(z) = F{z,n), 



so ist der Sinn dieser Gleichung derselbe wie etwa der der Gleichungen 3.4 = 12, 1/9:= 3 etc. 



Es ist nun von vornherein leicht zu sehen, dass es uuendh'ch viele Functionen F(z,n) und daher auch 

 unendlich viele Operationen D" geben wird, welche für ganze, positive oder negative n die Differential- 

 quotienten und vielfachen Integrale liefern, und unter diesen verschiedenen Functionen F{z,n) werden wir 

 im Folgenden eine möglichst einfache zu bestimmen suchen, und diese allein mit dem Namen Derivation und 

 die dazu gehörige Operation mit der Bezeichnung: deriviren belegen. 



Um nun diese Function F(^,«) durch einen analytischen Ausdruck bestimmen zu können, mlissen wir 

 eine Eigenschaft, die dieselbe bei allen ganzen n hat, bei beliebigen n bestehen lassen, es ist dies die 

 Eigenschaft 



8 



fV,±v-) = i^(>,±v-+-l), 



die man sofort aus den Reihen 1) erkennt; und ihre Verallgemeinerung für beliebige n, welche zulässig ist, 

 da von n unabhängig ist, lautet: 



8 



8 



F{z,n):=F{z,n + l). 2) 



Zu dieser Gleichung, welche in Bezug auf z eine Differentialgleichung, in Bezug auf n aber eine Func- 

 tionalgleichung ist, treten dann die folgenden gleichsam als Grenzgleichungen hinzu: 



F{z,±.) = D^'f{z) 3) 



wo die V ganz, mithin die rechten Seiten bekannt sind. 



Aus diesen Gleichungen 2) und 3), welche wir die Fundamcntalfordcrungen für die Derivation nennen 

 wollen, soll nun F{z,ii] bestimmt werden. Wir müssen zu diesem Zwecke vorerst jedoch, namentlich um die 

 rechte Seite der Gleichung 3) in eine andere Form zu bringen, eine Betrachtung über gewisse Curveninte- 

 grale einschalten. 



2. 



In der für ganze positive v gelteöden Formel von Cauchy 



ist bekanntlich der Integrationsweg 7v, der complexen Variabelcn / eine beliebige Curve, die den Punkt z 

 einmal im positiven Rinne umläuft und keine Ausnahmepunkte der Functidn fif) einschliesst. 

 Der analoge Ausdruck für — v an Stelle von v ist 



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