154 Anton Krug, 



Bezieht man liier die Variabele t auf denselben Integrationsweg IC, so nimmt J(c,— v) die unbe- 

 stimmte Form oo.O an, und um das zu vermeiden, definiren wir 



j(.,-v) = Lim i '^^^..; '\ f fm-^y^'-'^^t ! 



Sin- •^^_ ,(5=0) 



Subtrahirt man davon die für beliebig kleine o geltende Formel 



so erhält man 



j{z,-v) = Lim 1-^^'-=^/ m[(t-zy+~^-'-{t-zy-^]d 



und berücksichtigt man die Gleichung 

 so ist weiter 



•'(---') = w"" i (i-..-)(2+y. !\.-i TS) ,[«')('-')■'' ^4^ 



I (S=0) 



oder einfach 



6) Jz-y) = ^ • f^ • J A0('-~^)'-*^(^-^")^'- 



Den Integrationsweg' IC denken wir uns nun so entstanden, dass er von einem beliebigen Punkte er aus- 

 gehend den Punkt z einmal im positiven Sinne umläuft, nlle Ausnahmepunkte von f{t) ausschliesst und 

 wieder in a endigt. Der Anfangswerth der Function anter dem Integralzeichen ist deinuach 



f(a) {a — ä)"'"~' l {a — z) , 

 der Endwerth dagegen 



f{a){a-zr-'[l{a-z)+2iK\, 



weil die Amplitude von / — z beim Durchlaufen von Ä'. um 2 ;r gewachsen ist. Der Integrationsweg A' ist 

 somit in der letzten Darstellung von J{z, — v) keine geschlossene Curve. 



Um nun den Ausdruck rechter Hand in G) auszuwerthen, ersetzen wir den Integratiousweg A'^ durch 

 einen neuen Integrationsweg, der aus folgenden drei Theilen besteht: 



1. aus der beliebigen geraden oder krummen Linie {az), die von a nach z führt, ohne durch einen Aus- 

 nahmepunkt von f(t) zu gehen, noch einen solchen zu umwinden, 



2. aus dem unendlich kleinen um z geschlagenen Kreis z^ 



3. aus der von z nach a zurückfülirenden Curve {zd). 

 Dann ist 



"0 



