Theorie der Derivcdionen. 155 



Im zweiten Integrale substituireu wir i — z = pe''f , dt = ioe''^ df, wo '^ von f^ bis 'j<, + 2r wäcbst und p 

 den Radius des unendlich kleinen Kreises Zo darstellt. Für unendlich abnehmende p verschwiadet dieses 

 Integral; kehrt mau ferner im dritten Integrale die Integriitionsrichtung um, so bleibt einfach 



j^,-^ = -^.] mit-.r^.2i..dt 



oder endlich 



J(^ -v) = j-,1^ . [V(0(^-n'--'r//. 



a 



Man erkennt sofort, dass der rechter Hand auftretende Ausdruck nichts Anderes ist, als das vfache 

 Integral von f(z) genommen zwischen den Grenzen a und ;^. Bezeichnet man dieses nach der früher gemachten 

 Bemerkung mit 



a 



so hat man wegen 5) 



+1 



^(t-z)-' 



eine Formel, die der Canchy'schen Formel 4) vollkommen analog ist. Beide Formeln lassen sich zusammen- 

 fassen in die folgende 



'o^ 



y '^^^~ 2iK 'l{t—z)±'+' ' 



wo V eine ganze positive Zahl bedeutet. Gilt das obere Vorzeichen, so ist der Wertli des Curveniutegrales 

 vom Ausgangspunkte « des Integrationsweges 7v" unabhängig, weil dann 7C eine geschlossene Curve ist; 

 gilt dagegen das untere Vorzeichen, so ist, wie wir eben gesehen haben, der Werfh des Curvenintegrales 

 abhängig vom Ausgangspunkte a, weil der Integrationsweg A",- nicht mehr geschlossen ist, wenn man sich 

 die ganze negative Zahl — v als den Grenzwerth vorstellt, dem die beliebige Zahl — (i'+'J) l»ei unendlich 

 abnehmendem o zustrebt. 



Zufolge der Gleichung 7) ist somit die Derivation D"f{z) oder F(s,n) für ganze positive und negative 

 n derart bestimmt, dass F{z,-hv) den v-ten Differentialquotienten von f(z) und F{z,—)/) das vfache 

 Integral von f{z), genommen zwischen den Grenzen a und z, darstellt, was wir bei der Forderung 3) 

 berücksichtigen wollen. 



Vermittelst der Gleichung 7) können wir unsere Fundamentalforderungen so aussprechen: 

 „Die Derivation F{z,h) muss der Functionalgleichung 



^^F{z,7i) = F{z,n-^1) 8) 



genügen und für ganze h = + v die Grenzbedingung 



erfüllen." 



Um nun zum analytischen Ausdrucke für F(z,n) zu gelangen, wird es unsere nächste Aufgabe sein, die 

 Gleichung 8) zu integriren und das Integral der Bedingung 9) zu unterwerfen. Da nun 8) gleichzeitig 



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