156 Änton Krug, 



Fimctional- und Differeutialgleiclmng' ist, so wird der Weg, die vollständige Lösung von 8) direct zu finden, 

 ein sehr schwieriger sein; wir brauchen aber für unseren Zweck die vollständige Lösung gar nicht, da wir 

 sie ohnehin wieder speciaHsiren miissten, um auch die Gleichung ;i) zu befriedigen. Zudem werden wir von 

 einer dirccten Lösung um so lieber absehen, als sich unser Ziel sehr leicht auf indirectem Wege erreichen lässt. 

 Wir versuchen nämlich, ob und inwiefern der Ausdruck 





(t-zf 



der ebenso gebildet ist, wie 4j und 5), unseren Gleichungen 8) und Ü) Geniige leistet. Üass er die Gleichung 



9) erfüllt, ist ohne Weiteres ersichtlich; er genügt aber auch der Gleichung 8), denn es ist 



8 ^^ . \\h + 2) f t\t)dt ^. ^. 



da die Differentiation unter dem Integralzeichen vorgenommen werden darf, wenn wir voraussetzen, duss 

 der Integrationsvveg K. von der früher angegebenen Beschaftenlieit ist. Die Differenz 



F{z,n) — J(z,n) = P{~,)i) 



genügt dann ebenfalls der Gleichung 8) und hat die Eigenschaft, für alle ganzen n t= zt'^ i^u verschwinden. 

 Es ist somit die vollständige Lösung der beiden Gleichungen 8) und 9) einfach 



F{z, n) = Jiz, n) + l\z, n) 

 oder wegen der Bedeutung von J(z,h) 



10) F{z,n) = -^j^j __-^_^__+P(.,„^, 



wobei P{z,n) den beiden Bedingungen 



11) j ^^F{z,n)r^P{z,,i + l) 



\ P{z,±v) = Q 



zu genügen hat, sonst aber ganz willkürlich ist. 



Wir haben somit augenscheinlich das Resultat: Solange wir blos an den Forderungen 8) und 9) fest- 

 halten, ist der analytische Ausdruck iür die Derivation durch die Gleichung 10) gegeben; derselbe enthält 

 noch die Function P[z,)i), welche durch die Gleichungen 11) defiuirt ist. Man sieht leicht ein, dass es 

 unendlich viele solche Functionen F{z,h) gibt, und es ist daher der analytische Ausdruck für die Derivation 

 noch keineswegs bestimmt. 



4. 



In der Gleichung 10) tritt aus rechter Hand ein Curvenintegral entgegen, das eine nähere Betrachtung 

 verdient, es ist dies das Curvenintegral 



19^ r, ■, ix«+i) r mdt 



Zunächst bemerken wir, dass der Integrationsweg 7C, der vom Punkt n ausgehend eine Schlinge um 

 den Punkt z bildet und wieder nach « zurückkehrt, ohne einen Ausnahmepunkt von f{t) durchzulaufen oder 



einzuschliessen , keine geschlossene Curve ist. Denn es ist ^ ein Ausnahmepunkt des Integranden - — \„^i 



und diese Function haben wir uns wegen ihrer Vieldeutigkeit auf unendlich vielen ßiemann'schen Blättern, 

 die sämmtlich im Punkte z (und im Unendlichen) zusammenhängen, ausgebreitet zu denken. Führen wir 



