Tlicon'e der Derivationen. 157 



einen Vcizweigiuigssclinitt von z über a, so können wii- den Integrationsweg- K_ stets so uälilen, dass er 

 lüMgst seiner ganzen Aiisdeliuung- auf ein und demselben Blatte sich befindet und wir können uns dabei für 

 ein beliebiges Blatt entscheiden. Insoferne ist das Curvenintegral unendlich vieldeutig; doch unterscheiden 

 sich seine sämuitlicheu Werthe nur durch Factoren von der Form e-'''"=", wo /; eine ganze positive oder 

 negative Zahl ist, dessen Werth abhängt von der Wahl des Blattes, auf dem wir uns bei der Integration 

 befinden. Entscheiden wir uns ein für allemal für ein bestimmtes Blatt, etwa für dasjenige, dem der Werth 

 /« = entspricht, so haben wir auf diese Vieldeutigkeit des Curvenintegralcs niclit weiter zu achten, indem 

 aus dem Werthe für das bestimmte Blatt /( =z sogleich der Werth für ein beliebiges Blatt /( = /< hervorgeht, 

 wenn man mit e'''""' multiplicirt. 



Es fragt sich aber weiter, unter welchen Bedingungen für f(f) und >i dieses Curvenintegral überhaupt 

 endlich ist. 



In dieser Hinsicht erinnern wir an die Beschaffenheit des Integrationsweges IC. Derselbe darf keinen 

 Ausnahniepuukt von f(f) eiuschliessen, ferner darf auch auf ihm längs seiner ganzen Ausdehnung kein 

 solcher liegen. Da mm der Ptinkt a der Voraussetzung nach im Endlichen liegt, so hat der Integrationswes', 

 wie wir annehmen können, eine endliche Länge, und es kommen bei der Integration nur endliche Werthe 

 des Integranden in Betracht; nach einem bekannten Satze ist daher dieses Curvenintegral endlich und zwar 

 für alle Werthe von >i. Wir können sogar auch im Punkte a, der den Anfang und das Ende von 7v,- bildet, eine 

 Singularität der Function f{f') zulassen. Um zu sehen, wie es dann mit der Endlichkeit dieses Curvenintegralcs 

 steht, zerlegen wir den Integrationsweg A' in drei Theile, und zwar sollen, wenn b ein beliebiger endlicher, 

 aber für f{t) gewöhnlicher Punkt ist, diese drei Theile sein: 



1. die Strecke ab, die im Allgemeinen nicht geradlinig zu sein braucht, aber keinen Ausnahmepunkt 

 von f\t) durch- oder umlaufen darf, 



2. die Schlinge K',, die in b beginnend den Punkt z einmal im positiven Sinne umläuft, keinen Aus- 

 nahmepunkt von fit) einschliesst und in b wieder endigt, 



3. die Strecke b u. 

 Mau bekommt dann 



r/. „N _!'(«+ f AO'/^ r(«-M) f f{t)m , v{n+\) } mdt 



i 



2in J (^-2)« + ' ' 2iK J {t-z)"+i 2 «n-e- "-"+'■"'.] (t—z) 

 oder, nach gehöriger Zusammenziehung des ersten und dritten Integrales, 



6 



^^-'"^ - 2iK J^ {t-zy+' + i\-«),J (^-<)»+' ' 



Da b ein gewöhnlicher Punkt der Function f{t) ist, so ist das erste Integral wegen der Beschaffenheit 

 des Integrationsweges A''. nach dem vorhin angewandten Satze stets endlich; das zweite Integral verlangt 

 jedoch zu seiner Endlichkeit die Bedingung 



Lim[(«-«)/-(0],^„j=O. 14) 



Ist diese aber erfüllt, so ist dieses Integral endlich, und zwar für alle «; daher auch der Ausdruck 

 J(z,n). Wir haben somit den Satz: 



„Das Curvenintegral J{z,ii) ist stets endlich, wenn f{f) im Punkte a die Bedingung 14) erfüllt." 

 Der Punkt a kann nun in Bezug auf f\t) ein Unstetigkeitspunkt von verscliiedcner Art sein. Verhält sich 

 •näinllch f{t) in der Umgebung von <i so wie (t—ay, oder (t — ay[l(t — a)]-' u. dgl, so ist die Erfüllung der 

 Gleichung 14) unabhängig von der Richtung, in welcher sich t gegen a annähert; im zweiten Integrale in 

 13) kann also dann der Integrationsweg ab von a aus zuerst eine ganz beliebige Richtung nehmen, um dann 

 nach b z« gelangen; daraus folgt dann, dass in J{z,n) der Integrationsweg A'.-, aus welchem ja die Strecke 

 ab entstanden ist, sowohl bei seinem Ausgange von a als auch bei seiner Rückkehr gegen « ganz beliebig 



