158 Anton Krug, 



orientirt sein kaun. Mau kann das so ausdrücken: Ist « ein Ausnahmepuukt dieser Art (wir wollen eine 

 solche Unstetigkeit im Punkte (( im Folgenden eine Unstetigkeit „erster Art" nennen), so kann — die Erfül- 

 lung der Gleichung 14) vorausgesetzt ■ — der Inlegrationsweg /v' bei seinem Ausgange von a und bei seiner 

 Rückkehr ganz beliebige Richtungen haben und J{z,n) ist immer endlich und von solchen Richtungen 

 unabhängig. 



Ist dagegen in a eine Singularität von einer anderen Art (Unstetigkeit „zweiter Art", wie wir sagen 

 wollen), so kann zwar die Gleichung 14) auch noch erfüllt sein, aber dann im Allgemeinen nur mehr für 

 gewisse Anuäiieruugsrichtungen von i gegen «; in 13) muss also im zweiten Integrale der Integrationsweg 

 ah in der Nähe von a eine bestimmte Richtung haben, wenn das Integral endlich sein soll, daher wird dann 

 der Integrationsweg /i, in J(z,n) eine Curve sein müssen, die in a einen Rückkehrpunkt hat und die Richtung 

 der Tangente in diesem Rückkehrpnnkte wird eben jene Annäherungsrichtung sein, für welche 14) erfüllt 

 ist. Man kann also sagen: Soll bei einer Unstetigkeit zweiter Art im Punkte a das Curvenintegral J(z,n) 

 endlich sein, so wird im Allgemeinen der Integrationsvveg K, im Punkte a eine Spitze bilden müssen, die 

 sich dem Punkte a in der Richtung annähert, wie es die Gleichung 14) verlangt. 



Da vermöge der Gleichung 10) die Endlichkeit der Derivation F{z,n) in erster Linie von der Endlichkeit 

 dieses eben betrachteten Curvenintegrales J{z,n) abhängt, so wollen wir die Gleichung 14) die Bedingung 

 der Dcrivirbarkeit nennen. 



Der durch 10) gegebene Ausdruck für die Derivation ist theils unendlich vieldeutig, insofern er das 

 im vorigen Paragraphen betrachtete Curvenintegral enthält, theils ist er unbestimmt, insofern in ihm die noch 

 nicht näher bestimmte Function P(z,n) vorkommt. Die aus dem Curvenintegrale entspringende Vieldeutigkeit 

 können wir ganz unberücksichtigt lassen, da sie keine Unbestimmtheit involvirt, daher wird die neue 

 Forderung, die wir noch zur Bestimmung der Derivation nöthig haben, den Zweck haben, die Function 

 P{z,n) zu bestimmen. Da nun diese neue Forderung im Allgemeinen eine beliebige sein kann, so wird die 

 Function P{z,n) auch verschieden ausfallen müssen; es ist daher von der grössten Wichtigkeit, die neue 

 Forderung so zu stellen, dass die Function P{z,n) so einfach wie möglich ausfüllt. Wir gelangen dazu auf 

 folgendem Wege: 



Vergleicht man die beiden Ausdrücke 



^{z,m,n) = j)' i)' m = i)"' F(z,n) 



a a a 



Fiz,ni + »)=j)"'^"f{z) 



a 



mit einander, so lässt sich zeigen, dass folgende Beziehung stattfindet 



<l>{z,±!x,n)^F{z,±iJ. + n), 

 wenn fx eine ganze positive Zahl ist. Denn es ist erstens 



*(.^, +/.,«) = j)^ F{z,n) = -^ F{z,ny, 



nun folgt aus 8) durch wiederholte Diiferentiation 



j^F{z,>i) = F{z,ix + n), 



daher ist auch 



t>{z, + !x,n) = F{z,ix-hn). 



