Theorie der Derivationen. 159 



Ferner ist zweitens 



,„ {z,-i,,n) = j)-' F{z, n) = T F(z, n) dz^ , 15) 



a •-' 



a 



und man überzeugt sich durch pmalige Differentiation nach z leicht, dass die Gleichung 



z 



(F{s,7i)dz^ = F(z,n—ix) 



a 



stattfindet; die vorletzte Gleicliung gibt daher 



il>{z,—iJ.,n) = F{z,—<J. + n), 



womit die obige Beziehung bewiesen ist. Dabei ist allerdings nicht zu übersehen, dass das Integral 



J7« 



ffe" 



zwar einen endlichen angebbaren Werth hat, wenn wir, was immer geschehen muss, die Function f(f) der 

 Bedingung 14) unterwerfen, dass aber daraus noch nicht die Endlichkeit des in 15) vorkommenden Inte- 

 grales folgt; vielmehr wird darin die Grösse n einer gewissen Beschränkung untei liegen niüssen. AVir werden 

 darauf noch ausführlicher zurückkommen. 



Haben <t> und i^die vorige Bedeutung, so ist, wenn m keine ganze Zahl ist, im Allgemeinen 



4> (z, m, n) ^ F(z, m + «). 



Um das einzusehen, entwickeln wir jeden dieser beiden Ausdrücke nach der Formel 10), dann hat man 

 zunächst 



^h{z,m,>,) = i)"' F{z,n) 



a 



_ - (r(>^+i)r f(t)dt ] 



-^ \ 21. J__(^=^)^+n^'«^(• 



Nun lässt sich dieselbe Formel 10) in etwas anderen Zeichen auch sehreiben 



worin danu selbstverstiindlich Q{z,m) den beiden Bedingungen 11) zu genügen hat. Wendet man diese 

 Gleichung auf die rechte Seite der verletzten Gleichung an, so resultirt 



^^,.,„,,_i^(>»+i>i^(>'+i)r du r f{t)d t j 



\\M+l) Cr{t^,n)da [ 



+ 2/;r J^(m_2)'"+' +*^^~'''"^ ] 



Dagegen ist nach 10) unmittelbar 



„, , \\m + n + l) [ f(t)dt „, , ,„, 



F{z,m + n) = ^.^ ^ J_ (^i-^^^s+STT + P(^,»^ + n), 17) 



woraus man sofort erkennt, dass diese beiden Ausdrücke im Allgeiueiuen verschieden sein können, da ja 

 namentlich /-" und Q von einander und von f noch unabhängig sind. 



