IßO A ntoH Krug , 



Die neue, an die Derivatioii zu stellende Forderung sei nun die, dasg die beiden Ausdrücke IG) und 17) 

 für beliebige m einander gleich werden, dass also 



<I> (z, m, n) = F(z, m + n) 

 oder 



18) h'" D"m = i)"'^"m 



a a a 



stattfinde, wobei wir jedoch darauf gefasst sind, dass « einer gewissen Bedingung wird unterliegen müssen, 

 wie wir schon für den spccielleu Fall j»^ —p. bemerkten. 



Die Gleichung 18) ersetzen wir durch die mit ihr identische, nämlich 



r(/H + l)r(»+l) r du f f{t)dt r(w + ]) C l\n,n)du 



2iK J (<_2)™+«+i+^<^^''"+"^' 



und aus dieser Gleichung sollen nun die beiden Functionen P und Q bestimmt werden. Dass sich eine solche 

 Bestimmung ausführen lässt, wird sich gleich zeigen; zu diesem Zwecke müssen wir aber vorerst einen 

 wichtigen Satz entwickeln, der sich auf gewisse Curvenintegrale bezieht, und mit Zuhilfenalime dessen wir 

 die fragliche Bestimmung leicht erreichen können. 



6. 



In dem Ausdrucke 



, , r(«+i) f {t—a)pdt 



sei der Integratiousweg K, von der irüher angegebenen Beschatfenheit: er gehe von a aus. umlaufe z einmal 

 im positiven Sinne, um dann wieder in a zu endigen. Mau kann diesen lufegrationsweg ersetzen durch folgende 

 drei Theile: 



1. durch die geradlinige Strecke ah, wo h beliebig ist, 



2. durch einen von h ausgehenden, z einmal im positiven Sinne umlaufenden Zug 7v'',, der aufh wieder 

 in h eudigt, 



.3. durcli die geradlinige Strecke h a. 

 Dann ist 



r(«+i) 'i- ij-aydt ru;-Hi) r {t—aydt r(«+i) " At—aydt 



?{p,n) - — 27^"J {t—zy+' "^ 2i7t Jjt—zy'+' 27;re-''"'+')"j {f-z)"+' ' 

 oder nach gehöriger Zusaramenziehung des ersten und letzten Integrales 



20^ r(-M+i) f (t-aydt , 1 '(■ {t-aydt 



~ a 



Das erste Integral ist für alle Werthe von n und p endlich, das zweite jedoch nur, wenn real Q> + 1)^>0 ist. 

 Wir haben somit den Satz: 

 Der Ausdruck: 



'(^'") = ~2l^i (T=.V^ 



ß-zY 



ist stets und nur endlich, wenn real (/) + l)>0 ist. 



