Theorie der Derivationen. 161 



Man hätte diesen Satz auch sofort ans dein, was über die Endlichkeit des Ausdruckes J{z,n) in 12) 

 gesagt wuide, folgern können; in der That ist ja <f(p,n) ein specicller Fall von .J{z,n), wenn nämlich 

 f(t)^z{t — u)'' wird, und dann gibt die Bedingung 14) 



Lim [(<_«). (<-a)''l,,^^^=0 



d. h. real Qj4-1)>0. 



Lässt mau in 20) h nach z rücken, so kann man den Integrationsweg K'^ in einen unendlich kleinen um 

 z geschlagenen Kreis zusammenschrumpfen lassen; man überzeugt sich leicht, dass unter der Voraussetzung 

 real h-c;0 dieses Kreisintegral verschwindet, und dann bleibt 



a 



oder wegeu der ursprünglichen Bedeutung von f{p,n) 



Vij^ f ^=^ = ,,fi^V • (-«)^-" -U.-.1)>0. 21) 



2tT: ■^. (t—zY+^ {{p—n+l) ^ ^ ^i:- J J 



Diese Gleichung gilt zunächst für den Fall real «<0; dass sie aber auch für beliebige « gilt, erfährt 

 man leicht, wenn man beiderseits beliebig oft nach z dififcrenzirt und bedenkt, dass wegen der Endlichkeit 

 von f{p,n) für alle ii die Differentiation linker Hand unter dem Integralzeichen vorgenommen werden darf. 



Die so entstandene Gleichung 21) oder die folgende 



217: l (t—HY+'^V(p—n + lV ' 



V{m + 1) ein 



UCISUllS lUll 



Curve A',-; das gibt 



multipliciren wir beiderseits mit — ~. r-— -r und integriren nach u im Punkte a beginnend längs der 



i\/«+i) r(«+i) r du r (<— a)/'(;^_ r(w+i)r(/;+i) ['(«—«)/'-" rf« 



^ {^Ziref ■]. (tt— s)"'+'| (i— m)"-+-» ~ 2in\\f—n->rV)-^^^ (w— z)'"+' ' 



Ist nun real Qj — « + 1)>0, so kann man rechter Hand die Gleichung 21) anwenden, wenn man 

 daselbst^; und n beziehungsweise durch ^y — ii und m ersetzt; man erhält so zunächst 



V{j> — /( + 1) r(_p — Ml— H + l) ^" ' r(^ — m — n + \y ' 



jt—m — n . 



hier wieder 21) anwendend, indem man ii durch m + ii ersetzt, erhält man bei umgekehrter Anordnung 



_ r {m + ;t + 1 ) r {t—ay dt 

 ~ ~^2iK l lt^f'+^^ ' 



somit ist schliesslich: 



r(w+l)r(» +l') r du (' {t—aydt _r{m+n+l) C {t—ay dt 

 {2iny •!.,(«— ^)"'"^A- (<— 2)"+' "~ Wir: J (<_^)"'+«+< 



real(2? + l)>0; real(2J — «+1) >0. 



DeDkachriften der mathem.-naturw. Cl. LVU. Bd. 21 



