162 Anton Krug, 



Durch diese Gleicliiing ist eiu gewisses Curvendüppelintegial auf ein einfaches Curveuiutegral zurück- 

 geführt. Man kann das Eesultat verallgemeinern, wenn man beiderseits mit ^{p)dp multiidicirt, wo i^(yj) 

 eine ganz beliebige endliclie und eindeutige Function von ^j ist und über eine beliebige Curve integrirt, jedoch 

 so, dass stets real Qj+1)>0 bleibt. Setzt mau dann zur Abkürzung 



'' {2iny •{, (m— ^)"'+' ■;. {t—uY+^ 2/7r •'^ (f^—zy+n^^- 



Dabei ist die Function -/^(t) im Allgemeinen beliebig, doch bemerkt man sehr leicht die beiden Ein- 

 schränkungen 



24) Lim[(^-«)-/.(0],_, = O 



25) Li>ii [ {t—ay-" X W],,=„) = 0, 



die sich aus 22) ergeben, wenn man real Qj + 1):>0 und real (p — «-(-1)>>0 berücksichtigt. 



Die Bedingung 24), welche mit 14) identisch ist, verlangt, dass yß) derivirbar ist; das ist aber auch 

 die einzige Bedingung für y\t), was die Giltigkeit der Gleichung 23'i anbelangt, denn die Bedingung 25) 

 schränkt yit) nicht weiter ein, sondern nur die Grösse n. Wir haben a!so den Satz: 



Zur Giltigkeit der Gleichung 23) gehört, dass y(<) derivirbar im Punkte a ist, und dass n der Bedingung 



25) Genüge leistet, m ist dagegen vollständig willkürlich. 



7. 



Wir kehren nun zur Gleichung 19) zurück und setzen darin neben der schon unter 14) angenommenen 

 Bedingung der Derivirbarkeit von /(/) noch für n die weitere Bedingung fest 



26) Lim[(^-fl)'-'7-(0],=„) = 0. 



Dann hebt sich in 19) vermöge 23) das Curveuintegral linker Hand gegen das Curveuintegral rechter 

 Hand, und es bleibt 



woraus nun P und Q zu bestimmen sind. /// ist ganz beliebig, dagegen n durch die Bedingung 26) beschränkt; 

 man sieht indess zunächst leicht ein, dass n gewiss ancli einer ganzen negativen Zahl ^ — v gleich sein kann. 

 Setzt man nun in 27) «z= — v, so fällt wegen 11), wonacli P(c;,d=v)=:0 ist, das Curveuintegral fort, 

 und es ist 



28) P{z,m-^)-Q{z,m). 



Ersetzt man hierin m und v beziehungsweise durch ;« + l und v-i-l, so ist weiter 



P{z,m — v) r= Q{z,m-\-V), 

 also durch Verglcichung mit 28) 



Q{z,m + V) — Q{z,m)\ 

 das ist wegen 11) 



