Theorie der Derivationeu. 163 



woraus durch Integration 



gefolgert wiril. Die lutegrationscoustantc o>{iii) muss nach ll^i periodisch sein, nämlich der Functional- 

 gleichung oj (»n + 1 ) = oj (?;;) nebst der Bedingung oj(Ü)=:0 genügen nnd darf c nicht enthalten. .Setzt man 

 diesen Werlh von Q{z,m) in die Gleichung 28), so ist 



P(z,m — v) ^ oj(»()e- 

 oiler, wenn man m durcli m + >i-i-v ersetzt und wegen der Periodicität von oj(»m): 



P(z, m + 11) -= w (>« + «) (f ; 

 daraus folgt noch speciell für m =r 



P(z,n) = 'ji(ji)er. 



Trägt man die gefundenen Werthe von P und Q iu die Gleichung 27) ein, so wird, wie ersichtlich 



r (■?«+!) , . { e" du r , X / M 



2i^ ■ '" *■'"], Ju=^^ ^ [" '•"' ^ "^ - " ^'"^] '■• 



Diese Gleichung ist aber nur dann möglich, wenn w für jedes Argument verschwindet. Dann ist 

 aber auch 



P = (? = 0. 



Jetzt liefert also die GleichuiiLj;- 10) folgenden analytischen Ausdruck für die Derivation 



-D/W-'W-J^C^)-^' '') 



welcher uns für die weiteren Eutwickehingcn als Basis dienen wird. Die beliebige complexe Grösse n möge der 

 Index und « die untere Grenze der Derivatiou genannt werden, r/ mnss im Endliehen liegen und /'(-:) hat der 

 Bedingung 14) zu genügen, welche wir noch einmal anschreiben wollen 



Lim[i7-a)/'(0],=.=0 30) 



(Bedingung der Derivirbarkeit.) 



Wir wollen die gewonnenen Resultate noch einmal kurz zusammenfassen: 



„Unsere Derivation Jj' fiz) hat folgende drei Fnudamentaleigenscbaften: 



a 



"^ a a 



z 



a J [ 



a 



jTJfm = t'^"m-^ r^i»'l('-«)'-Y(0](,=„,=o III. 



a a a 



durch dieselben ist sie vollkommen bestimmt, und wird analytisch durch die Gleichung 20) ausgedrückt." 

 Die Eigenschaft 



^a'- 



jym=Z^m 



2 z-' 



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