164 Anton Krug, 



d. li. die Eigenschaft der Derivation, für ganze positive Indices in Differentialquotienten überzugeben, ist 

 nicbt mit unter die Fiindamentaleigenscbaften aufgenommen worden, weil sie blos eine Folge von I und H ist: 

 Differenzirt man nämlieb in II beiderseits 2v-mal nach z, so erhält man 



a 



andererseits folgt aber aus I durch successivc Differentiation 



a a 



"^ a a 



^.b'm = i"^'m 



^'^, i" m = b"^"' m- 



8 



a a 



Setzt man in dieser letzten Gleichung ;/ = — v, so hat man 



^.b~'m = b'm> 



a a 



woraus durch Vergleichung mit 32) unmittelbar folgt 



b'm = i^,m; 



also ist diese Eigenschaft in I und II entiialten. 



Für III ist die Bemerkung wesentlich, dass darin n nicht beliebig, sondern an die angehängte 

 Bedingung, die sich unter 25), resp. 26) einstellte, gebunden ist; vi ist dagegen vollständig willkürlich. 



n. 



Entwicklung der wichtigsten hieher gehörigen Formeln. 



1. 



Nachdem wir im vorigen Capitel die Definitionsgleichung 29) für unsere Derivation aufgestellt haben, 

 ist es vor Allem wünschenswerth, zu wissen, wie sich diese Derivation als Function von z betrachtet, in der 

 Umgebung der unteren Grenze a verhält, welche den Anfangs- und Endpunkt des Integrationsweges A', 

 bildet. Um das zu erfahren, halten wir den Punkt a fest und lassen z an ihn heianrücken. Als Integrntions- 

 weg IC in 29) wählen wir dann einen unendlich kleinen, um z geschlagenen Kreis, der natürlich durch 

 den Pnnkt a gehen muss. Setzen wir demnach, wenn r der ßadiiis dieses Kreises ist, 



f = z + rc''?; a ^ z+re''f«] Q—a) = r(e'? — e'?»); dt = ire"fdo, 



wo (ßg die Amplitude des Anfangsradius ist; dann haben wir nach f zu integriren und zwar zwischen den 

 Grenzen f^^ und y„ + 2,-T. In Bezug auf /\/) werden wir unterscheiden , ob n ein gewöhnlicher Punkt für /'(<) 

 ist, oder ein Unstetigkeitspunkt erster Art. (Vergl. Cap. I, Paragraph 4.) 



