166 Anton Krug , 



wegen real Q;+1)>0 ist der Grenzwerth rechter Hand ebenfalls stets endlich. Für ^j = kommt man auf 

 34) znrück. 



•/) a sei ein solcher Unstctigkeitspiinkt von f(ß), dass man setzen kann 



f{f) = {t-ay[l(i-a)]^f,{i), 



wo wieder /", {f) in der Umgebung von a stetig ist. Die Bedingung der Derivirbarkeit lautet hier wieder 



real(;; + l) >0 



und man findet durch eine ähnliche Rechnung wie vorhin, dass der Grenzwerth 



■-^"■[ [7^:1^15 ■f(-'-«)'I'('-«'W^-)L., 



auch hier stets endlich ist; drückt man wieder/", {£) durch /'(c) aus, so kann man nämlich schreiben 



Die Gleichungen 34), 35) und 36) führen zu dem Ergebnisse, dass 

 37) i)"A.) = ^£(.) 



gesetzt werden kann, wo E{z) für z-=a endlich bleibt, und /.war gilt eine solche Gleichung, wenn « ein 

 gewöhnlicher Punkt oder ein Unstetigkeitspunkt erster Art von f(t) ist. 



Die Betrachtung der Fälle, wo im Punkte « eine Unstetigkeit zweiter Art zugelassen wird, mag unter- 

 bleiben, weil wir uns vor der Hand nur auf solche Derivationen beschränken werden, wo f\t) in a blos von 

 der ersten Art unstetig ist und weil in jenen Fällen in der That keine so einfache Gleichung wie 37) besteht. 



Wir werden auch später an einigen Beisi)ielen sehen, dass die Gleichung 37) in den Fällen, wo a ein 

 Unstetigkeitspunkt zweiter Art ist, nicht mehr gilt. 



Mit Hilfe von 37) lässt sich nun leicht die Frage beantworten, unter welchen Umständen die Derivatiou 



jy f{z) als Function von z betrachtet, wieder derivirbar ist. Dazu gehört, wenn man in 30) z statt f und 



jy f{z) statt f{z) setzt, dass 



Um[{^-a)]y'fm =0 



stattfindet. Nach 37) kann man dafür schreiben 



Lim[(0-a)'-V(s)^(^)](_j = O 

 oder wegen der Endlichkeit von E(z) im Punkte a 



Lim [(s-a)'-"/-(2)] , =0. 



Unter dieser Bedingung ist somit die Derivation 2)'Y(^' wieder derivirbar, und zugleich sehen wir, 

 dass die in 31) HI geforderte Bedingung eben nichts Anderes ist, als die Bedingung für die Derivirbarkeit 

 von TT f{z), also die Bedingung für die Endlichkeit der Doppelderivation J)l" Jf fiz). 



