168 Anton KiiKj, 



SelhstverstäncUicli liättc man die Gleiclimigeu 40), 41) und 42) auch duicli directe Ausvvertlinng des 

 Dcfmitionsintegrales 2i/) erlialten können, nur ist die Rechnung nicht so einfach. Auch die Derivation von 

 {2—a)i'[l {z—a)Y lässt sich aus der öleichung 38) vollständig entwickeln, indem man beiderseits v-mal nach 

 p ditferenzirt und linker Hand die üitfereuziatiou unter dem Derivationszeichen vornimmt. 



Unterwirft man in 38) p speciell der Bedingung 



p ^ n-^h — 1, 



wo /( eine ganze positive Zahl ist, die kleiner als real n sein muss, so ergibt sich, da die rechte Seite ver- 

 schwindet: 



a 



Hier kann /; also die Werthe annehmen 



/< = 0,1,2, . .V — l,v<;realH, 



während v + l^rcal« ist. Multiplicirt man nun die vorstehende Gleichung mit einer beliebigen Constanten 

 i\ und sumniirt für alle zulässigen Werthe von h, so ist 



(2 



Die unter dem Derivationszeichen stehende Function möge mit '^(z,n) bezeichnet werden, also 



43) ■^{z,it)=Cg{3-ay'-^+Ci{z—a)"-- + c^(z—ay''-^+. . . +c,(^— «)"-'-' ; 



dann lautet die vorhergehende Gleichung 



44) jf^{z,n) = v + l^real/i>v^O. 



a 



Die durch 43) definirte Function ^{z,n) möge complementäre Function genannt werden, und ihre 

 Eigenschaft wird durch die Gleichung 44) ausgediückt. 



Wir wollen jetzt zeigen, dass •■P(2,h) auch die einzige Function ist, der die Eigenschaft 44) zukommt. 

 Zu diesem Zwecke suchen wir alle Functionen, welche die Gleichung 



J)-^z,n)=0 



a 



befriedigen. Ist v eine ganze positive, sonst aber vorläufig noch beliebige Zahl, so kann man diese Gleichung 

 auch schreiben 



a (1 



und daraus folgt unmittelbar 



J) '.J^(z,>f)^c,' + c^{z-a) + c^{z^af+ . . .+c[{z-a^, 



a 



wo die Constanten c beliebig sind. Da nun die rechte Seite derivirbar ist, so kann man zur Bestimmung von 

 t^(^,«) aus dieser Gleichung die Fundamentaleigenschaft III anwenden, nämlich: 



a a 



= ir"^'''lcj+c/iz-a) + c^(z-a)'-^ . . .+c/(s-a)"], 



