Tlieorie der Derivationen. 160 



und weuu man gliedweise derivirt iiud dabei die Formeln 38) und 39) anwendet, 



c ' \ c ' 12c' 



^^ I (« — v) ^ ^ 1(1 + «— v)^ ^ 1(2 + «— v)^ ^ 



1.2...V.C./, , , 



• • • + r(») ^^-"^" ' 



die bisher beliebige ganze positive Zahl v bestimmt sich durch die Bemerkung, dass '|'(^,m) derivirbar sein 

 muss; dies ist der Fall, wenn real [n — v) > ist. Ändert man noch die Constanten c', so wird diese Gleichung 

 identisch mit 43). Hiemit ist also bewiesen, dass die durch 43) deiinirte complemeutäre Function -^(zjn) in 

 der That die einzige ist, die der Gleichung 44) genügt. 



3. 



Wir wollen jetzt die Zerlegungstheoreme entwickeln. 

 Es sei 



f{z) = f^{z) + 'i>,iz)+ . . . +y.(s); 



dann ist nach der Definitionsgleichung 29) zunächst: 

 oder auch 



T,'^ ,v ,, _ r(«+i) f" y.(0 ,, _^ r(^^+2) f n (0 ., ^ . rp^+i) f ^„it)dt . 



mithin ist 



vorausgesetzt, dass sowohl die Summe Oi + fi+ ■ • +?/. als auch die einzelneu Functionen y,,^^ . . . fi, 

 derivirbar sind. 



Der Satz 45) gilt auch für eine unendliche Reihe, wenn der Integrationsweg K, ganz innerhalb ihres 

 Convergenzbereiches liegt. 



Ein specieller Fall von 45) ist auch die Gleichung 



f S<^-^^(^)ä=iXl=^--^"-f '^"~^' 



46) 



wobei die Constante c nach Formel 39) derivirt wurde. 



Ferner erhält mau aus der Definitionsgleichnng 29) für 



f{z) = c.f{z) 



unmittelbar 



Für die Function 



j)^c.^{z) = c.if<f{:^. 47) 



a a 



f{z) = fi{z).fi{z) 



gibt die Definitionsgleichung zunächst 



^„ r(«+i) f fi(t)f^{t ) ^^ 



a Ä, ^ / 



Denkschriften der mathem.-naturw. Gl. LVII. Bd. 22 



