Tlieoric der Derirationen. \-i 



Ist von den beiden Functionen w, und f^ eine, etwa y,, synectiscli innerliallj eines um a geschlagenen 

 und z einscblicsscnden Kreises, so lässt sie sich in die Taylor'.sche Reihe 



?.(o=?i(«)+^%;(«)+^^?;'(«)+ . . . 



eniwiciieln, und man erhält dann 



oder auch 



J)" .. (.) . f, (z) = \: ^-^ i' (.- ayf,(z) . 



Die Derivation rechter Hand lässt sich nach 50) weiter entwickeln, wenn »^(O innerhalh eines um z 

 geschlagenen und a einschliesseuden Kreises synectisch hloibt; dann wird nämlich 



^ ^ \\h-\-k—n + 1) (2;— a)«-*-^- 



Im speciellen Falle <ä^{z) = 1 und 'j^(~) = f(z) erhält man daraus die Eulwicklung 49), während der 

 Fall 'j^(z)=:l und 's/^{s) ^=.f{z) auf die Gleichung führt 



f «=) = r(i^,(^|«")+S(---'')+(d^(---")'+ ■ ■ ■ j. ^^) 



worin also a der Mittelpunkt eines z cinschliessendeu Convergenzkreises für f{t) sein muss. Diese Entwick- 

 lung 53) ist gleichsam das Gegenstück zu 49). 



Sind endlich beiile Functionen 53, und y^ syucctisch innerhalb eines um a gescldagenen und c einschlies- 

 senden Kreises, so dass mau die Taylor'sche Entwicklung 



00 00 



?i (0 • ?2 (0 = 2i 2!, — — h! ki 



benutzen kann, so wird man auf die Formel geführt: 



„ ^-iL-ir{h+k—H+l) {z—a}"-''^'' 



welche das Gegenstück zu 51) abgibt. 



Gleichungen dieser Art führen zu interessanten Relationen, wie das folgende Beispiel zeigt. Entwickelt 

 man nämlich die Derivation von c'- nach den beiden Formeln 49) und 53), so erhält man beziehungsweise 



, ^~ l\—n)\z—af\n n—l 1 "*" m=^' 1-2 ~" ' ') 





, — a (z — a)'^ 



r(l— ») («—«)'• ) l-n (1— m) (2-«) ^ ■ ■ 



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