172 Anton Krug, 



welche Gleiclmngen für jedes endliche z, a und « gelten. Setzt man die rechten Seiten einander gleich, und 

 dann a = 0, f30 erhält man folgende Darstellung von r 



1 z z^ z^ 



n n[n — 1) n{n — 1)(« — 2) n{n—V){n — 2)(« — 3) 



1 Z^ Z^ 



n " («— l).l "^ («—2) .1.2 ~ {n—S) .1.2.3"^' " " 



und diese Gleichung gilt für jedes n, ausgenommen, dass w eine ganze positive Zahl ist, denn es wurde im 

 Zähler und Nenner der Factor r(— w) weggelassen. 



4. 



Wir wollen jetzt alle auf Doppelderivationen bezügliche Sätze entwickeln und zusammenstellen. 

 Zunächst folgt aus 31) I durch successive Differentiation 



3-' 

 8^ 



,Dy(^ = D"^"m, 



welche Gleichung wir schreiben wollen : 



55) i)'tm=b'^"m 



an a 



und im Vorhergehenden schon einige Male benutzt haben. Hiebei ist n eine beliebige und v eine ganze 

 positive Zahl. 



Desgleichen erhält man durch successive Benützung der Fundamentaleigenschaft 31) III: 



56) b^'b'"-' if'-' • • • • P^if' fi^) = D^'^"'-^ • ■ ^"'-'^"^ m^ 



a a a a a a 



welche Gleichung giltig ist unter den Bedingungen 



i Lim[(/-«)'-./'(0],_,= O;Lim[(/-«)'-".-.f(/,)],,_-O;. . . . 



o6a)l 



' ( ... Limf(f-«)'-".-''^ • • ■ • -'V,-. f(t)] ,,^„ - 0; 



nur «,, ist noch beliebig. Wir werden im folgenden Paragraphen die Darstellung der Derivation durch ein 

 bestimmtes Integral kennen lernen; die Gleichung 56) enthält dann eine Reduction eines /(-fachen Integrales 

 auf ein einfaches, welches Resultat sich im Wesentlichen schon bei Liouville findet. 

 Ein specieller Fall von 56) ist die folgende Gleichung 



57) b~"i''m = m- l™[(#-«)'-"/-(^)](,=„,= o 



a a 



Scbreibt man diese Gleicliungen in der Form 



b~''F{z,n)=fizl 



a 



so kann sie dazu dienen, aus einer gegebenen Derivation F{z,n) ^ J)" f(z) die Function f{z) selbst zu 



a 



finden, nur muss n der Zusatzbedingung 57) genügen, oder was dasselbe ist, F{z,n) muss derivirbar sein, 

 d. h. es muss 



Uxü[{t-a)F{t,n)\,^^-0 



