Theorie der Derivationen. 173 



stattfinden. Für den allg-cineincrcn Fall, dass aus einer nicht dcrivirbaren Derivntion F{z,n) die nrspiüng- 

 liclie Function fyz) hergeleitet werden soll, wo also die Gleichung 



]y'f{£) = F{z,n) 58) 



a 



nacb f{z) aufzulösen ist, bestimme man zuerst eine ganze positive Znlil v, welclic die Gleiebung 



Lim[(«-«)'+=F(f,«)]„^„-0 59) 



erfüllt. Eine solche Bestimmung ist immer möglich, denn diese Bedingung heisst in anderen Zeichen 



Lim[(i-«)'-"+Y(0],=„,= O, 



wonach also wegen der Derivirbarkeit von f{t.) v so angenommen werden kann, dass die Ungleichung 



V + 1 ^ real n'^-v 



besteht. Die .aufzulösende Gleichung 58) liisst sich nun schreiben 



^i)"-'-v(.)=i^(.,,o, 



a 



lind daraus folgt durch (v + l)-malige Integration bei beliebiger unterer Grenze — zwischen a und z ist F(z.h) 

 der Annahme nach nicht integrirbar — 



-c,(.-— rtY'. 



jf-'-'fiz)= j ^+'F(z,»)dz'+'+c, + c,{z-a) + c,(z-af+ . 



Jetzt ist die rechte Seite derivirbarj denn es ist we^en HD) 



Lim [(/-«) p+'i^(.~,«),L- + '],,^,„ = 0, 



und die Anwendung von 57) auf die vorletzte füeichung gibt 



m =I)~"^'^'hFiz,n)dz'+^+-H~V>^) j. ßO) 



v+l ^realw > v, 



wobei -pizjn) die complcmentiire Function ist. 



Die Formel 57) kommt in Form eines Doppelintegrales schon in einer Abhandlung von Abel vor 

 (Grell e's Journal I.), der sie zur Lösung einer dynamischen Aufgabe benutzt. 



Behufs einer weiteren Entwicklung gehen wir von der Gleiclning 13) aus, welche lautet: 



r(7i+i) C f(t)dt _r(».+i) C f{t)dt 1 } fit) dt 



217: J^(t—zY+'~' 2iK •|.,ji;—0)"+''^r(—?j)J («—*)"+'' 

 und worin b ein gewöbnlicber Punkt für f{t) ist. Wir scbreiben diese Gleicbung zunächst in der Form 



a 



und bebandeln die rechter Hand vorkommende Derivation 



D 



'^-'^ 2 in J,(f—zy+i' 



