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und hiemit ist die Derivation durch ein bestimmtes Integral dargestellt, wenn real ti negativ ist. Der Inte- 

 grationsweg von a bis ^ braucht im AUgemeiucn nicht geradlinig zu sein, darf jedoch keinen Ausnahme- 

 punkt von f(t) durch- oder umlaufen. 



Um auch für einen beliebigen Index m eine analoge Darstellung /u gewinnen, zerlegen wir w in «-+-v, 

 wo « vou derselben Beschaffenheit ist, \yie in 65) und v ganz und positiv oder auch Null ist. Dann ist 



"+^,/,x_ 1 2" r /"(O'^^ 



'"'> i'""«-')=r(^^f 



r(_«) 8 >•■'_] (0— /)«+* 



real II < 0. 



Diese Gleichungen 65) und 66) sind ebenso allgemein als die Defiuitionsgleichung 29) selbst, insofern 

 nämlich auch hier f{f) keiner weitern Bedingung zu unterliegen braucht, als der Bedingung der Derivirbarkeit 

 30). Sie kommen auch bei Herrn A. Grünwald in seiner zweiten Abhandlung so zu sagen als Definitions- 

 gleichungen vor, nur ist dabei n unuöthiger Weise auf die Bedingung real )i^ — \ beschränkt. 



Wir wollen noch angeben, wie man die Gleichung 57) des vorigen Paragraphen mit Hilfe dieser Integral- 

 darstellungen gestalten kann. Es sei 



— 1 < real« <0. 



Dann ist die dortige Zusatzbedingung gewiss erfüllt, wir l)rauchen also auf sie nicht weiter Rücksicht 

 zu nehmen, und die erste auszuführende Derivation lässt sich unmittelbar durch das Integral 65) ausdrücken. 

 Man hat dann 



i'(-») r Ji-— 0"+' 



a 



Da fi£) dcrivirbar ist, so kann mau diese Gleichung einmal zwischen den Grenzen a und ^ integriren 

 und rechter Hand die Integration im Index der Derivation anzeigen, nämlich 





mdt_ 



-t-1 



nun ist aber wegen — l<:real/?-<0 auch — l<:real( — 1 — >^)<0, daher ist auch die andere Derivation 

 durch das Integral 65) darstellbar; schreibt man im ersten Integrale als lutegralionsvariabele u, im zweiten 

 dagegen t, so hat man 



j n-) ~ — j.^_^^-, r(i+„) j (0_<j-»J (i5— M)»+" 



a a a 



oder f {z) für f{z) geschrieben 



ai\ r/ N jr/ \ sin «71 ? dt (• f'(ti)du , , „ 



67) f(z)—f((i) = / ^ / '■ \ ^, , —1 < real« < 



a a 



was die erwähnte AbeTsche Gleichung* ist. 



III. 



Die untere Grenze liegt im Unendlichen. 

 1. 



Wir wollen jetzt kurz noch die Derivation mit unendlicher unterer Grenze betrachten, weil einerseits 

 dieser Fall historisch den Ausgangspunkt dieses Calculs bildete, und die Resultate sich in der That häufig 



