Theorie der Derivationen. 177 



sehr einfach gestnlteii, und weil andererseits diese Derivation eine etwas abweichende Behandlung verlangt 

 und einige der bisherigen .Sätze gewisse Modificationen erleiden. 



Es bezeichne w eine reolle positive unendlich wachsende Grösse; sei ferner zur Abkürzung der Richtungs- 

 coeffizient e'f« =: j gesetzt, dann sagt die Gleichung 



aus, dass die untere Grenze a- der Derivation im Unendlichen liegt und zwar in einer Richtung, die mit der 

 Richtung der Achse der positiven reellen Zahlen den Winicel y,, einschliesst. Der Integrationsweg /C- des 

 Detinitionsintegrales 29) wird nun zu einer unendlich langen Schlinge, die aus dem Unendlichen in der 

 Richtung s. kommend, den Punkt z mit Ausschluss aller Ausnahmepunkte der Function f{t) einmal im posi- 

 tiven Sinne umläuft und wieder in derselben Richtung z ins Unendliche zurückkehrt. Wir wollen diesen 

 Integrationsweg mit il. bezeichnen. Somit hat man zunächst die Gleichung 



Es fragt sich aber, ob und wann die so definirte Derivation einen bestimmten endlichen Werth besitzt. 

 Hat man von einer gegebeneu Function f(^z) die Dei'ivation für die endliche untere Grenze a gebildet, und 

 convergirt diese Derivation für « = ew zu einer bestimmten eudlichen Grenze, dann, aber auch nur dann, 

 wird das Curvenintegral in G8) eineu bestimmten endlichen Werth besitzen: dann, und nur dann, kann man 

 also von einer Derivation mit unendlicher unterer Grenze sprechen. Wir wollen nun sehen, wann dieses 

 eintritt. Die Gleichung 61) liefert uns für k =z ew und b als gewöhnlichen Punkt der Function vorausgesetzt 



Die rechter Hand vorkommende Derivation ist nun stets endlich, so lange b im Endlichen liegt; daher 

 hängt die Endlichkeit der linker Hand stehenden Derivation mit der unendlichen Grenze sot ab von der 

 Endlichkeit des Ausdruckes 



-r{—n)j {z-tY+" > 



tili 



worin b ein gewöhnlicher Punkt der Function f{t) ist und der Integrationsweg e'j)...b keinen Ausnahme- 

 punkt durch- oder umläuft. Wir haben somit den Satz: 



„Die Derivation mit unendlicher unterer Grenze soj existirt dann und nur dann, wenn der Ausdruck 

 T endlich ist." 



Es lässt sich zwar kein allgemeines, aus der Beschaffenheit der Function f(f) abgeleitetes Criterium 

 •aufstellen, mittelst dessen man in allen Fällen entsclieiden könnte, ob der Ausdruck T endlich ist oder nicht, 

 wohl aber lässt sich eine hinreichende Bedingung dafür angeben, nämlich: 



„Für solche w, welche der Gleichung 



/M=o 71) 



genügen, ist T, und somit auch die Derivation mit unendlicher unter Grenze soj, stets endlich." 



Man sieht schon hieraus, dass nicht für jedes n eine solche Derivation existiren wird, und das ist ein 

 wesentlicher Unterschied zwischen einer Derivation, deren untere Grenze endlich ist uud einer solchen, deren 

 untere Grenze unendlich gross ist. Während jene Derivation für alle « endlich ist, wenn f{f) der einfachen 

 Bedingung 30) genügt, hat man hier für jeden specielleu Fall aus 70) s und n so zu bestimmen, dass der 

 Ausdruck 7' endlich bleibt und nur für solche s und n ist dann die Derivation mit unendlicher unterer Grenze 

 endlich. 



DenkscliriflL-n Icr mathem. naturiv. Cl. LVH. Bd. 23 



