180 Anton Krug, 



Man überzeugt sich auch hier leicht, dass 'p^(^,n) die einzige complementäre Function ist, wenn die 

 Derivatiou eine unendlich grosse untere Grenze hat. Die complementären Functionen ^(z,n) in 43) und 

 ^^(z,n) in 77) können zu einander in die Beziehung 



i^ = (.-«)"-- 



gebracht werden. 



7) f(^) = e" 



wo c eine beliebige complexe Constante ist. Die Bedingung für die Endlichkeit der Derivation findet sich aus 

 70) nämlich 



entweder n beliebig; real es <0 

 oder real n > — 1 ; real es ■= 0. 



Für beide Fälle ergibt sich die Entwicklung der Derivation leicht ans 69), wenn man zuerst real w < 

 voraussetzt und h nach z rücken lässt. Man erhält dann, da die Derivatiou rechter Hand verschwindet: 





^, _ t « . 



Dieses Resultat gilt nun auch für solche n, deren reeller Theil positiv ist, wie man durch Differentiation 

 leicht findet, man hat also 



78) jy e' = c"e" real c£<0; « beliebig 



«tu 



and 



79) ])" e" — c«e". real es = 0; real »* > — 1 



Die merkwürdige und höchst einfache Formel 78\ welche für alle /; gilt, wurde von Liouville zum 

 Ausgangspunkte seiner diesbezüglichen Untersuchungen verwendet; Buchwaldt dagegen benützt die beiden 

 Formeln 38) und 73). 



Drückt man die Derivation linker Hand in 78) durch das zugehörige Curvenintegral 68) aus, so ist bei 

 umgekehrter Anordnung der Schreibweise 



r(w4-i) r ^'dt 



„n pcz — ^^ '_ 



Für t=z-hu,dt = (hl fällt e"' heraus, das Übrige lässt sich dann für f = 1 und £ =: — 1 so schreiben: 



1 1 C e" 



80) iT, ?^ = 77^ -TTT du, 



' r(w+l) 2«;:^ M''+* 



wobei jetzt der Integrationsweg ß^ von a =: — oo aus den Nullpunkt einmal im positiven Sinne zu umlaufen 

 und wieder nach a = — oo zurückznkeliren hat. Die Potenz «<"+' ist dabei so zu nehmen, dass 1"+' z= 1 ist. 

 Die vorstehende Gleichung kann zur Definition der Function F benützt werden und kommt mit der bekannten 

 Definition durch das unendliche Product vollständig überein. (Bigler, Grelle 's Journal 102.) 



