182 Anton Krug, 



wodurch wir auf die Bedingung 71) zurückgekommen sind. Für a =0 und ganze positive n wird die Formel 



ation 



83), wenn mau nocli /f-j = f(X) setzt, mit der von S. Spitzer in dessen „Studien über die Integrati 

 linearer Differentialgleichungen" (Wien 1860) angegebenen 



(4)"" "'■ 



identisch. 



Nimmt man in 83) beispielsweise 



f(z)-:=^^(z,7i)=:Cg + c^z+c^z^-+- . . -^c^z'', v + l^realM>v 



so wird wegen z ■= 



(?-«)" -'/•(^) = (?-«)" '[c. + c,_. (C-«) + c._2(C-a)'+- ■ .+Co(C-«)1; 



somit ist 



i)" fi (-^«) = e-'- (C-a)"+'i)" ^ (C, m) = 0, 



wodurch also die Gleichung 76) aus 44) hergeleitet ist. 

 Die Annahme 



f{z)=e" 

 in 83) fuhrt vermöge 78) auf die Gleichung 



Schreibt man hierin z statt C, und setzt zur Abkürzung 



e 



(z—aY'*e'^z=f 



so hat man 



85) i>=(^.„.<P, 



und das ist eine lineare Dififerenzialgleichung von der beliebigen Ordnung w; zu ihr gehören die Particular- 

 lösuugen 



86) _^^ 



f = {z — a)«-*e '-" ' 



aus denen sich das allgemeine Integral linear zusammensetzt. Ist in 85) n eine rationale Zahl, so ist die 



Anzahl der particulären Lösungen eine endliche, weil dann vT nur eine endliche Anzahl von Werthen hat; 

 ist aber n irrational oder complex, so hat aucli 85) eine unendliche Anzahl von Particularlösungen, denn es 

 hat dann vT unendlich viele Werthe. 



Es möge hier eine Bemerkung gemacht werden, die sich auf die Gleichung 37) bezieht. Dieselbe wurde 

 für die Fälle abgeleitet, dass « ein gewöhnlicher Punkt oder ein Unstetigkeitspuukt erster Art von f(t) ist. 



