Theorie der Derivationen. 183 



und es wurde dort erwähnt, dass diese Gleichung nicht mehr gilt, wenn in <( eine andere Unstetigkeit 

 auftritt. Wir isehen das nun recht deutlich an der Gleichung 85), wo die Unstetigkeit in a in der Tliat keine 

 der dort in Betracht gezogenen ist. 



4. 



Mittelst der Formel 83) kann man zu jeder Derivation mit unendlicher unterer Grenze sogleich die ent- 

 sprechende Derivation mit endlicher unterer Grenze hinschreiben, die ihr gleich ist und umgekehrt; eine 

 Anwendung dieses Principes haben wir auch schon im vorigen Paragraphen gemacht, wir wollen jetzt noch 

 eine andere Anwendung zeigen. 



Zunächst wollen wir diese Formel 83) noch etwas abändern, indem wir rechter Hand 



(<-^y-'f{-^)=f(i) 



einfuhren, wodurch linker Hand wegen ^ =z a-\ — 



f{z)=z-'f(a+-'j 



entsteht. In der so gewonnenen Umgestaltung 



schreiben wir f statt f und vertauschen z mit C; dann ist bei umgekehrter Anordnung der Schreibweise 



i)'7(^) = e'-?"+'i)" ?«-'f(«+|); < = ^ 87) 



a Etu 



nnd in dieser Gestalt hat diese Gleichung den Vorzug, für alle n zu bestehen, wofern nur f(t) derivirbar ist. 

 Verbinden wir diese Gleichung etwa mit der Gleichung 49), so ist zunächst 



ü 'V Ü~ r(-«) (-—«)"( « n-l 1 ^»—2 1.2 ! 



1 

 z = a+- 



Flihrt man rechter Hand die Substitution für z ein, und setzt dann a = und wieder z für ?, so 

 resultirt 



^„ _, ,1, e-'" /ü_ f'Ü ._!_ ''"vj _l K 88) 



^ ^'' %j"- r(-n)'\n.z n—ll.z^'^ti-2l.2.z^ ' ' •(' 



und diese Gleichung gilt für alle ii, nur uuiss die Reihe rechter Hand convergiren. 



Behufs einer weiteren Entwicklung setzen wir in 87) f(z) =: fi{z).f^(z), wodurch 



" fi(.^)?ii^) = e'-'-C'+'i»" i"-' y,(«+ ^)?e(«+ i: 



a 



entsteht, und transformiren mit Hilfe dieser Gleichung und der Gleichung 87) die Gleichung 48) derart, 

 dass wir jede der dort vorkommenden Derivationen mit der unteren Grenze a durch die entsprechende 



