Theorie der Derivationen. 185 



Man erhält dann uacli 49) oder 53), da diu Kcilien in diesem Falle eine cudliclic Glicderanzabl entlialtcn, 

 sehr einfach 



wo f^{z) wieder eine rationale ganze Function vom Grade v bezeichnet. Die CocfTizienten in f\{z) werden 

 natürlich von den CoefTizicntcn in fiz), ferner aber auch von a und ;/ abhängen. Am leichtesten geschieht 

 die Cücft'izicntenbcstimmung, wenn fiz) in der Form 



s—a (z—aY (2—")' 



/(-) = fo + c,-^- + c,"—^ + ...+€., Y:27r.v 



gegeben ist, man findet dann nämlich 



Durch die Gleichung 91) ist nun das Verhalten der Derivation einer ganzen rationalen Function voll- 

 ständig bestimmt, und zwar für die ganze Zahlenebene der Variabein z, und es lässt sich folgender Satz 

 aussprechen: 



„Die Derivatiou einer ganzen rationalen Function vom Grade v ist wieder eine ganze rationale Function 

 von demselben Grade v, dividirt durch die u-te Potenz von z—a. Hiebei ist n der Index der Derivation und 

 a deren untere Grenze." 



Bevor wir weiter gehen, mögen zwei Sumraenformeln für gewisse Reihen erwähnt werden, die sich aus 

 der bekannten hypergeometrischen Reihe ergeben und die wir gleich in gebrauchfertige Gestalt bringen 

 wollen. 



Die hypergeometrische Reihe 



^\r)l\r-p-q) _ /^ y(j> + 1) ■ (/l/j+ 1) p{p + l)il} + '2) q{q + l ){<j + 2) 



r(r—p)r{r-q)~'^l.r'^ 1.2.r(r + l) 1 .2.3.r(r+l)(r+2) " '' ^^ 



deren Giltigkeit au die Bedingung yea\ {r—2J—q)>0 gebunden ist, liefert erstens, wenn man beiderseits 

 durch (/ dividirt und dann }) =: «+ !, 'i = n + 1, r = n + 2 setzt: 



'■"-"■>-")=d:i + ("t'),T^-("t')-iä--- L) 



realM<0 j 



wobei linker Hand noch i'( 1 + /()!'(— «) i" ■ ,^ . — umgesetzt werden könnte. Zweitens kann man 02) 



^ ^ ^ sin(w+l);r 



auch in der Form schreiben 



( r(r)r(r- ^;-7) _ ) I _ .^A 1 n>^ly ,j+l fp + 2\ ('Z + l)(g + 2 ) . 



\r{r-p)r{r-q) '\''q-[l)'>-[ 2 )y^r^'^[ 3 )r(:r+l){r+2) ' "' 



geht mau jetzt zur Grenze für unendlich abnehmende q über, so erhält man linker Hand 



r(r) V{r-p) ' 

 setzt man ferner p = ii + \, r = 1 und beachtet man -—^ = — C, so hat man schliesslich 



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