186 Anton Krug, 



-^-W^^-t 1 j-T + l 2 j"2 + l 3 j'3 + -- 



94)^ '^-""^ 



realw<0. 



C ist hier wie in 41) die Euler'sche Constante. 



2. 



Die Untersuchung der Derivation rationaler gebrochener Functionen beginnen wir mit dem einfachsten 



Falle, dass f(z) = - ist. Diesen Fall werden wir eingehender behandeln, weil sich die Derivation beliebiger 



z 



rationaler gebrochener Functionen darauf zurückführen lässt. 



Zunächst hat man hiefür eine Entwicklung nach 49), nämlich: 



„ !^~ T{l-n) (.z—a)" zl^n—l z ^ n—2\ z j «— 3 1 



Dieselbe gilt für alle z, die der Bedingung mod {z^a) < mods: genügen. Halbirt man den Radius vector 

 von a durch eine unendlich lange Senkrechte, so wird durch diese die Zahleuebene in zwei Theile getheilt: 

 die Gleichung 95) gilt nun für solche z, die in demselben Theile liegen wie «. 



Eine andere Entwickhiug liefert 53), wonach 



^„1___1 1__ 1( ^ ^^ 1.2 /g— «n' 



a ^ ~ lXl—")"(^— «)"'«( 1-" « '^ {l-n){2—n)'[ a I 



dieselbe gilt jedoch nur für solche z, welche die Bedingung mod (2: — rt)<modrt erfüllen, was geometrisch 

 heisst, dass z innerhalb des Kreises liegen muss, der um a mit dem Radius mod a beschrieben ist. 



Die beiden Entwicklungen 95) und 96) decken uns von der Derivation J)" - blos den singulären Punkt a 



a ^ 



auf, und beide sagen aus, dass sich diese Derivation im Punkte a in Bezug auf die Unstetigkeit so verhält 



Um die fragliche Derivation auch auf anderen Partien der Zahlenebene untersuchen zu können, geben 

 wir aus von der Darstellung 65), dieselbe wird 



D' - = ttA- r . \ ^1 real « < 0. 



a 



Der Integrationsweg darf liier weder um noch durch den Nullpunkt gehen. Unter dieser Voraussetzung 

 dürfen wir rechter Hand < = -^: dt ^=. ^t— setzen, man erhält dann: 



z 



97) i>"^ = ^T7^^•^^ , " ^1, real«<0. 



'' -^ z r(— m) ä"+'J {u — 0)"+* 



a 



Es ist nun wichtig, zu zeigen, dass eine ähnliche Gleichung auch für beliebige ;; gilt. Multiplicirt man 

 nämlich die vorstehende Gleichung mit s"+' und differenzirt man dann einmal nach z, so crliält man 



^"+'i)"^'>("+i)^"Z>\ = f 



s l\—n) (2—«)"+' 



