TJieorie der Derivationen. 187 



oder 



Diese Gleicliung ist zunächst noch an die Bedingung realM<0 gehunden; man liann aber leicht 

 beweisen , dass sie für alle n gilt. Schreibt mau sie nämlich in der Form 



so ergibt sich daraus durch beiderseitige Differenziation nach z 



oder 



^„+2j. »4-2 = +, 1 _ 1 1 1 



^ z z ^ z~ \\-n~l)\z—ay+''' z' 



Vergleicht man dies mit 98), so sieht man, dass die Gleichung 98) für n+\ gilt, wenn sie für n gilt. 

 Da sie nun aber für alle n gilt, deren reeller Tbeil negativ ist, so gilt sie auch für beliebige «. Schreibt man 



in 98) statt J)" - etwa 'j>{z), so ist 



a *^ 



d(f{z) M+1 , N_ 1 1 1 . 



~d^ + -^-f^-) - Y{^\z—a)"+' 's' 



' 1 



und das ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung, welcher (f{z) = D'^ Function von z be- 



a 



trachtet genügen muss. Mau erhält daher durch Integration dieser Differentialgleichung 



In dem hier vorkommenden Integrale lassen wir die untere Grenze unbestimmt, um in jedem speciellen 

 Falle die beste Wahl treft'en zu können; die von z unabhängige Constante c, die im Allgemeinen eine Function 

 von n und « sein wird, Ijleibt daher auch noch bis auf Weiteres unbestimmt. Unterwirft man n z. B. der 

 Bedingung real h<:0, so hat man, da für diesen Fall nach 37) 



Limji)"l| =0 



wird, der Constanten c den Werth Null zu ertheilen und als untere Integrationsgrenze a zu nehmen ; dann ist 

 man aber genau auf 97) zurückgekommen, wovon somit 99) die Verallgemeinerung für belieljige n ist. 



Wir wollen nun die Gleichung 99) auf verschiedene Weisen weiter entwickeln. 



Schreibt man das darin vorkommende Integral in der Form 



/( 



^~z) z' 



so kann man unter der Voraussetzung mod0>mod a das Binom entwickeln und gliedweise intcgriren; man 

 erhält dann 



D 2-r(-;0i^J l 1 yi-s l 2 )2z'' \ ?, j^z^ •••■( 



24* 



