188 Anton Krug, 



Um die Constante c zu bestimmen, setzen wir z ■= a und real« <:0, wodurch die linke Seite verschwindet; 

 das gibt 



» = -"'-("T')i-("t')4-("t')-3--- 



Die hier vorkommende Reihe rechter Hand convergirt in der That für real ?j<:0 und ihre Summe ist aus 

 94) bekannt; es ist daher 



r'[-n) 

 so dass jetzt wird 

 '■^^)JJ-^- z"+'\v{-n) [V{—n)f r(-w)j r(— m)^"+'(^ ^ /l.^ l 2 



2, 



für alle z, die der Bedingung mod^<moda genügen. Der Index « ist zwar noch an die Bedingung real?<<:0 

 gebunden, allein man überzeugt sich durch Differenziation nach z leicht, dass die Gleichung 100) auch für 

 «+1 gilt, wenn sie für n gilt; sie gilt daher für alle n. Die Gleichung 100), welche für alle z gilt, die 

 ausserhalb des Kreises liegen, der um den Nullpunkt mit dem Radius uiod a beschrieben ist, lehrt zweierlei. 



Einmal zeigt sie uns da.s Verhalten der Derivation J)"- im Unendlichen, wonach sich dieselbe für uncnd- 



a 



liehe z so verhält, wie 



Iz 



(abgesehen, von dem Fall ganzer positiver «); zweitens sieht man, dass diese Derivation eine unendlich 

 vieldeutige Function von z ist. Lässt man ncämlich z etwa die Peripherie eines Kreises, dessen Radius grösser 

 als mod« ist, ä mal umlaufen, so erlangt diese Derivation nach diesen Umläufen wieder denselben Werth 



g~2,7,H- 2i]i7: 

 multiplicirt mit e.--''""-; und ausserdem noch das additive Glied _ x '^m^' ^'^ ^^"^^ '^^^^ '' '^'^"" P*^^'' 



tiv oder negativ sein. Man kann das so ausdrücken, dass man sagt, die Function 



a 



ist ebenso vieldeutig wie Iz; man kann es aber auch auf folgende Weise ausdrücken: Bezeichnet man, wie 

 bisher, die eindeutig genommene Derivation mit D", dagegen den allgemeinsten Werth derselben von nun an 

 mit {D"\, so hat man folgende Gleichung 



( ^, 1 ) %, 1 2«An: 



wenn man nach den Grundsätzen des Paragraphen 4, Capitel I vom Factor e'-''"'~ absieht. 



Die vorstehende Gleichung geht für n = — 1 in das bekannte Resultat von der unendlichen Vieldeutig- 

 keit der Function Lz über, nämlich 



L- = l~-\-2ih7T, 

 a a 



wenn mit L der allgemeine Logarithmus bezeichnet wird. 



Wir bemerken noch, dass die in 100) vorkommende Reihe für ganze negative h eine geschlossene wird, 

 und daher für alle z gilt. 



