Theorie der Derivationen. 189 



Behufs einer anderen Entwicklung von 99) sclireiben wir das dort vorkommende Integral iu der Form 



(— a)»+' j l aJ 



Ist mod0< mod«, so kann man wieder binomisch entwickeln und gliederweise integriren, was auf die 

 Formel führt 



f,"l- <" , 1 .( 1 , fn + l\ 1 , /«+2^ g' , ) 



y zT(—n)z^+'r{—n).{—a)"+'\7i+l[ 1 ){H+-^)a { 2 y(„ + 3)«''' )' 



vorausgesetzt, dass n keine ganze negative Zahl ist. Die Bestimmung der Constanten c geschieht auf ahnliche 

 Weise, wie vorhin; man hat die Formel 93) zu benutzen und erhält 



c-{-l)"r{l + n)V(—n), 



wodurch wird 



welche Gleichung unter der doppelten Voraussetzung gilt, dass mods-^mod« und >i keine negative ganze 

 Zahl ist. Die Modification für den Fall negativer ganzer n können wir übergehen, weil wir damit nnr auf 100) 

 kommen würden. 



Der Gleichung 102) zufolge verhält sich die Derivation J)" - im Nullpunkte wie 



z 



a 

 1 



abgesehen vom Falle ganzer negativer ii = — v, wo ihr Verhalten nach 100) durch 



ä''-' Iz 

 charakterisirt ist. 



Die Gleichungen 100) und 102) ergänzen sich gegenseitig iu Bezug auf den Spielraum der Variabelen z, 



und insofern ist nun die Derivntioii ])" - für alle z entwickelt; ausgenommen liievon sind nur solche z, die 



auf der Peripherie des Kreises liegen, der um den Nullpunkt mit dem Kadins mod a beschrieben ist, weil da 

 die in 100) und 102) vorkommenden Eeihen im Allgemeinen divergiren, wenn ii beliebig ist. 



Wir wollen jetzt noch zwei Entwicklungen herleiten, welche die Gleichungen 95) und 96) ergänzen. 



Zu diesem Zwecke führen wir in dem Integrale in 99) = u ein, nämlich 



„_i_i dz ru'^du 



,1 U — a) z ~\ 1 — u 



Ist nun mod « < 1 also mod z< mod (s— a), so hat man durch Entwicklung rechter Hand und gliedweise 



z 



Integration, und wenn man wieder n := restituirt: 



z — a 



' ,. 1 _ 1 1 ( 1 1 g 1 / ^ \\ (. 



^ z T{—n)z^+''^V\~n)'{z—aY+'\n + ln + 2z-a n + ^\z—a) '"]' 



vorausgesetzt, dass n keine ganze negative Zahl ist. Die Bestimmung der Constanten c ergibt sich auf die 

 Weise, dass man 2 = setzt und mit 102) vergleicht; man findet 



c = (—i)»i'(i +«)!"(—"); 



