190 Anton Krug, 

 daher 



'"J-V -^ z"^ ' s"+' r(-w)-(^— «)"+*(»+! « + 2-0-C« n+sU-fJ 



Diese Gleichung, welche die Entwicklung 95) ergänzt, hört natürlich auf zu bestehen, wenn n negativ 

 und ganz ist. 



Ferner ist in 99), wenn man =: u setzt: 



•^ z—a 



r, z \"-*-^ dz r,^ a n"+' c/s r., . 



Nimmt man hier mod v« < 1, also raod {z — a) > mod«, so kann man wieder binomisch entwickeln und 

 gliedweise integriren; setzt man dann wieder für u seinen Werth , so hat man 



^ Ci 



^z V{—7iyz"+' V(—n)z"-^')z-aUj-l.(z~a 



n] a' 



ay^--^' 



(— wy2"+' V{—h)z"+') z—a \\l\.(z~a) \2J2.(z—af 

 die Constante c kann man aus 100) bestimmen, indem man z = oo setzt; man findet 



l\-n)' 

 und hat somit 



^ X> 2 - ,„+. \v(—u) "^ [r(-«)|' ) r(— «)-^»+' \ z-a [ij 1 . (z—a) [2)2.(z- 



welche Gleichung mit 96) zusammen die Derivation für alle z liefert. 



Wir können das Resultat der bisherigen Untersuchung in folgenden Satz zusammenfassen: 



„Die Derivation von -, als Function von z betrachtet, ist in der ganzen Zahlenebene endlich und stetig, 



bis auf die drei Ausnahmepunkte z ^= 0, z ■=z a und z r= oo, wo Verzweigungen auftreten. Sieht man von 

 der Verzweigung in u ab, so ist der allgemeinste Werth dieser Derivation, wenn der Nullpunkt A-mal (oder 

 der unendlich ferne Punkt — //-mal) im positiven Sinne umlaufen wird: 



'n 1 2ihT: 



D 



y z r(— w)s"+' 



Die Verzweiguugsart in a ist in der Gleichung 37) enthalten." 



Die vorigen Entwicklungen dienen auch dazu, die Derivatiou von ^^xj» wo A positiv und ganz ist, voll- 

 ständig zu untersuchen. 



Man hat nach G4) wenn man X statt v schreibt: 



uijn<')-u rw r(i— «—?,)■ (s-aj"+' r(2-M-x) (^— a.)"+^-' r(— «) (~— «)"-^" 



