T/ieorie der Derivat tonen. 191 



1 (—!)'• 



und wenn man dariu f(z) = - setzt und beiderseits mit -J^^ — ^ multiplizirt: 



/j»j__iiil)i f."+'.i_ (-^'1 L_.iri ^_^^^ j 



Y 2^+' ~r(,l+Ä) a ^ V(l + l)y\l-n—l) {z—ay+'' al 1— M— / rt f 



^ 1 • 2 /^:^N^ _ _^ (-1)'-'. 1.2. ■(/,-!) ,z~a^.-n i 



+ (l_„_;i)(2_w— X) l a ; ■" (1— M— X)(2— M— A)...(-w— 1)1 a y J' ] 



welche Glcicliung für jedes n und positive ganze a gilt, mag 5; wo immer liegen. 



Durch die Gleichung 105) ist somit die Derivation J)"t+1 ^"^ '"^ bereits untersuchte Derivation 



" - 1 



J)"~^^'- zurückgeführt, und es sagt diese Gleichung unter Anderem aus, dass die Derivation 2)"t+T ^^^ 



Function von z betrachtet, ebenfalls durchaus endlich und stetig ist mit Ausnahme der drei Punkte z = 0, 

 z =z a und ^ = oo, wo Verzweigungen auftreten. Der allgemeine Werth dieser Derivation ist 



wenn der Nullpunkt //-mal umlaufen wird. 



Selbstverständlich kann man die Untersuchung der Derivation J)" ^^^^ auch unabhängig von der I5etrach- 



z 1 



tung der Derivation J)"+''- - durehfüliren; man stellt zunächst die Ditferentialgleichung 



= +1 J_ »+A+1 = « J_ 1 107) 



auf, die für alle n gilt, und aus welclier durch Integration folgt: 



t ^ = r(_,,)W«+'--i- 1 ' +/(.!«)'.+' '^^~ } ' ^^^^ 



die Bestimmung der Constanten c-, kann man etwa dadurch bewerkstelligen, dass man wieder, wie oben, 

 gewisse hypergeometrische Keihen benützt. 



Wir betrachten jetzt die Derivation von , wobei c natürlich nicht mit « zusammenfallen soll. Man 



iS — c 



hat für diesen Fall nach 65) 



-^"1 'i- r dt , r, 



D = 777 7 77 77 ;7 -p. '"Cal U < U. 



y z-c l\—n)j {t—c){z-ty+' 



a 



(a—c)(z—c) , , , (z—c)(u—a) . dt du . , ,„ 



ituirl man hier t — c = - ^^ \ wodurch z—t = ^ -^ <■ und ^ — = wird, so 



u — c u — c t — c u — c 



Substitu 

 hat man 



■An 1 1 1 f (m— C)" , , n 



T) = -— ^—-f -i ^, du real H < 0. 



-^ z—c V{—n) (0—0)"+' J (m— a)"+' 



Mau leitet hieraus ohne Mühe die für alle n geltende Ditferentialgleichung: 



:^„+i 1 . n+1 ^„1 1 



•y z—cz—cY -— c \\—n)(z—a)''+^.{z—c) ^ 



