192 Anton Krug, 



und daraus wieder das Integral 



110) Y ^—<' ~ r(— re)-(^-c)"+*' i '^ J {z—ay+' ] 



ab. Ein Blick auf die Gleichung 99) lehrt uns jetzt, dass man die Derivation J)" aus der Derivation 



-•1 . " ^~ 



J)" — sofort erhält, wenn man in letzterer z und a beziehungsweise durch z — c und a — c ersetzt. Wir 



z 



a 



könnten demnach sofort sechs Reihenentwicklungen für diese Derivation hinschreiben, die sich folgeweise 

 aus 95), 96), 100), 102), 103) und 104) durch diese Substitutionen für z und a ergeben. Die Derivation 



2)" als Function von z betrachtet, ist überall endlich und stetig, hat aber die drei Verzweigungspunkte 



Ä- — C 

 a 



z ^ c, z ^a und z = CO. Durcli A-malige Umläufe von z um c enstebt der allgemeinste Wertli: 



111) U)Vr7 =i)"-;-:+w 



z-c S ~Y z—c T{—n) (ä— c)"+' ' 



wenn wir wieder von der Verzweigung in a absehen. 



Ebenso einfach erledigt sich schliesslich die Betrachtung der Derivation von ^— -. Man hat zunächst 



(z — c)'+' 



dafür eine der Gleichung 105) analoge Gleichung 



[j^n 1 _ (-ly 'n-^;. 1 t:rf- r 1 . z-a 



j^ (^_c)>+' — r(l + },)^ z—c \\l+'f.)VO—H—l){z—aY+'>(a—c){. 1—n—l'a—c 



^^^^1 ^ 1-2 /fz::^^'_ ^ (-i)'-'.i.2..(ä-ij /^-«v-n. 



[ -^ (l—n—A) (2— H— A) {a—cj ' ' (1— «— X) {2—n—X) . . . (— w— 1) [a—cJ J ' 



oder auch, wenn man will, die Ditferentialgleichung 



„+i 1 . w+A+1 _^n 1 _ 1 



^^^^ ^ (r_c)x+T+ ._c -ö (z—cy-+'~r(—n){z—aY+'{a—cy-{z—c)' 



zu der das Integral gehört: 



114) h" ^— ^ K^+ ffc::^^^^-"! 



^ y (2— c)'+»~r(— «).(s— c)''+"+'(«— c)'"| J {z—a)"+' (■ 



Auf jeden Fall ist diese Derivation für alle z als entwickelt zu betrachten, und es lässt sich darül)cr aus- 

 sagen, dass sie wieder drei Verzweigungspunkte besitzt: s = c, = « und s = 00, sonst aber tiberall 

 endlich und stetig ist. Der allgemeinste Werth dieser Derivation in Folge von /t-maligen Umläufen von z um c 

 lautet: 



. 1 .X ( 'n 1 ) _ 'n I {—iy-.2ih7I 



(2_c)>.+i^ -^ (2_c))-+i^ r(l + A)r(— w— A)(2r— c)«+'-+* ■ 



4. 



Wir haben jetzt alle Mittel, die Derivation einer beliebigen rationalen gebrochenen Function zu 

 untersuchen. 



Liegt eine solche Function vor, so lässt sie sich bekanntlich zunächst im Allgemeinen in eine ganze und 

 eine echt gebrochene Function zerlegen, und letztere ist ferner jederzeit in Partialbrüche mit constanten 

 Zählern zerlegbar. 



