Theorie der Derivationen. 193 



Es sei 



und f(z) von der Form 



f(z) = {z-c„y«{z-c,y'{z-c,y-^. ..(z~c,y>., ii6) 



wo /j.g /;.,... f;.,, beliebige ganze jicsitive Zahlen bedeuten. Der Grad von f[z) ist dann kleiner als 

 p■^, + lJ■^+!J■2+ ■ ■ ■+P-h- Durch Partialbruchzerlegung von wird 







>117) 



■ Vi.o ■ 7i,i , 7i,2 , 7'.^— 2 ■ 7i,p-i-i 



+ 



7*,u Kj , 7A,ä 7a. |x;,-2 7m^^. -t 



oder in kürzerer Fassung 







worin bekanutlieh der Zähler ist: 



ICA + 1)L fi.i)\=c,) 



Zufolge der Darstellung 117) ist die Derivation einer beliebigen gebrochenen Function schon durch die 

 vorhergehenden Untersuelumgen erledigt, und es hat diese Derivation folgende Verzweigungsi)unkte: die 

 Pnnkle (\,, r, , c^,. . .o., den Punkt a und den unendlich fernen Punkt. Sonst ist diese Derivation überall end- 

 lich und stetig. Wie steht es nun mit der Vieldeutigkeit? Liisst man z einen der Punkte c, etwa den Punkt 

 (■„, einmal im positiven Sinne umlaufen, so criiahen nach 115) die eindeutig genommenen Derivationen 

 der Glieder der betretfenden Zeile in 117) der Reihe nach noch jedes ein additives Glied, so dass zur Deri- 

 vation der ganzen Zeile folgender Ausdruck hinzutritt: 



"'^ ' ■V{iJ.H)\\—n—i>.u+l)(z—c,y+^u^^ '' •r(^,_]) r^_„_p.,+2)-(;2— c,.)"+'^*-' 

 + f_l),..-3 ^''" ■_ ^^^_- L__^ + . . . + ~'^ - v/.,..-. 



^^ V ^) 11,,, QN r/ _„ _,, , o\ (^ „\n+v.,.—i ^^ 



i\,jiA— 2) r(— M— /JL/.+3) (2-0.)"+^'-= ■■ r(i)r(— w) (2-c,,)"+' 



V-K- 



(-l)i^*-'-''A,* 1 



Zj P(ft,.— i)P(— w— Ui-H-fc+l 



(ft,— i)P(— w— ^4-+Ä;+ 1) (2;— Cj)"+^/-^- 



I) 



Um (licyc Summatiuii luiönilircu zu köiiiien. berücksichtige man die Gleicliungeu 



1 _0.;. -l)(f;.,-2).. .(fX^-Zc) 

 P(/A,— Ä;) r(,XA) 



1 (_M— 1)(— H— 2). . ■(— »—, M., + /.-+l) 



\\-Tn—ih, + k+V)~ P(— ») 



Dcukbchvillcu Jur iiialUom.-uaturw. t.l. LVU. Ud. 25 



