194 Anton Krug , 



dann geht der vorige Ausdruck über in 



und weil 



(0— C/,)"+''A 





SO hat man weiter 



Au = 



-^■Srr')[^'('-«')"'lilh-*(^]^ 



r (,;.;,) r(—«) Z^ WC ;l ^ ^'^ f(t)i L (^-0^ 



u 



wohei nach Ausführung der Differentiationen nach t für t der Werth t =: Ca zu setzen ist. Die Sunimation ist 

 hier ausfülu'har und gibt schliesslich 



118^ Jf 2^7: r ^ (<)(<_c,)F. i 



('=<^/,) 



Wird in gleicher Weise der Punkt c,, mehrmals, etwa X,,-nial umlaufen, so tritt zur Derivation der 

 betreffenden Zeile der Summand l/,Ii/, hinzu; mau sieht leicht, dass nun allgemeinste Werth der Derivatiou, 

 wenn c alle Punkte c^, c^, c\,. . ■c,, beziehungsweise X^, >,,, A^,. . .A,.-nial umläuft, der folgende sein wird: 



■H^)\} _^nf...Hz)y 



119) \j)''([,.i + ^^^y-j)"([,-^]+'m^ + i^B,+\B,+^^^^ 



wobei die 1 beliebige ganze positive oder negative Zahlen sein können. Wir liaben somit den Satz: 



„Die Derivation einer rationalen gebrochenen Function ist unendlich vieldeutig; ihr allgemeinster Aus- 

 druck besteht aus der eindeutigen Derivation, zu der gewisse Functionen li als Abzweigungen linear mit 

 ganzen Zahlencoefficienteu hinzutreten. Die Anzahl dieser Abzweigungen 11 ist ebenso gross, als die Anzahl 

 der von einander verschiedenen Wurzeln des Neuners f{z)^. 



Hiebei wollen wir wieder davon absehen, dass nach Paragraph 4 , Capitel I, sowohl die als eindeutig 

 angenommene Derivation, als auch nach Gleichung 118) die einzelnen Abzweigungen li ebenso vieldeutig sind, 



wie die Potenz — -. • 



2"+' 



Wir wollen jetzt sehen, wie die in der vorigen Nummer gefundene Vieldeutigkeil der Derivation einer 

 rationalen gebrochenen Function aus unseren ursprünglichen Detinitionsgleichungen folgt. Es sei wieder: 



dann ist nach 65^ 



A«) = M-i> 



,['■)-«" 



i)" f(z) - -i f 1^ dt real « < , 



a 



wobei nach der ursprünglichen Auffassung der Integrationsweg az keinen der Punkte o, umlaufen darf. 

 Betrachtet man ^ aber als variabel, und lässt man demnach z etwa den Punkt r,, einmal im positiven Sinne 

 umlaufen, so hat man jetzt einen Integrationsweg, der von a ausgeht, den Punkt c,, einmal im positiven Sinne 



