Theorie ehr Derivationen. 105 



umläuft uud dann in : endigt. Dieser Integrationsweg lässt sich aber, wie man leiclit sielit, auf deu vorigen 

 Integrationsweg (/j zuriiekführeu, dem eine geschlossene Curve JC^ vorangeht, welche den Punkt c,, einmal 

 im positiven Sinne umläuft und ,' nicht umschliesst. Es tritt also dann 7Aun obigen Ausdrucke noch hinzu 



p\ + 





"cn 



Da nun der Integrationsweg 7Cj eine geschlossene Curve ist und z ausserhalb derselben liegt, so ver- 

 sehwindet das erste Integral; man hat somit 



In dieser letzten Darstellung ist die Function -^ {t—r,f'-{z—t)'"-' auf und innerhalb der geschlosse- 



nen Curve K^^ durchaus synectisch , und man erhält nach der bekannten Cauchy'sclicn Formel 4), da hier 



fx;, ganz und positiv ist, 



_ _2iK__ r ^mt-c,)n, 



'"' - r(p.,) Ti-n) [^ 'f (t) U— 0"+'J(,=c„, ' 



was mit 118) übereinstimmt, hier jedoch zunächst nur für real«<;0 bewiesen ist. Man braucht aber nur 

 nach z zu differenziren. um zu sehen, dass diese Darstellung von /.',, für n + 1 gilt, wenn sie für n gilt; sie 

 gilt daher allgemein. Man kommt somit vollständig auf das unter 118) gefundene Resultat zurück, woran sich 

 der Satz 119) knüpft. 



Wir sehen also, dass sicii die Vieldeutigkeit der Derivation aucli aus den früher aufgestellten Definitions- 

 gleicbungen ergibt, sobald man sich z nicht mehr als festen Punkt, sondern unbeschränkt variabel denkt. 



Wir werden diese Bemerkung dazu benützen, die Derivation einer algebraischen Function näher zu 

 untersuchen. 



6. 



Es sei f(z) eine s-werthige algebraische Function, deren Zweige die Wertbe /■,(s), f^i-)- ■ f,.{~)- -f^ji^) 

 . . .f^{z). . .f,(z) iiaben; die Punkte c^,(■^,...c,, seien die Unendlichkeitspunkte mit den ganzen positiven 

 Exponenten ^.(„y.,,. • .,«/, und die Punkte e^, e,,. . .s,, die Verzweigung.spunkte, die auch zugleich Unendlich- 

 keitspnnktc (mit unganzen Exponenten) sein können. Die Verzweigungsschnitte ziehen wir von den Punkten 

 e^, e^,.. .«/, sämmtlich nach dem Punkte « hin, und wenn die Variabele z einen solchen Verzweigungsschnitt 

 überschreitet, so befindet sie sich jedesmal auf einem anderen Platte, dem ein ;inderer Zweig der Function 

 f(z) zugehört. 



Wenn wir von dem Zweige fj.{z) ausgehen, also annehmen, c; befinde sicIi ursprüngiicli auf dem ^j-ten 

 Blatte, so ist 



h" f u) = ^ f f" <''^ ^' , real « < 0. 1 20) 



a 



Umläuft nun : den Punkt c,, einmal im positiven Sinne, so soll sich dann .- auf dem q-i&n Blatte befinden, 

 also f],{z) in f^{z) übergehen. Man kann dann den Integrationsweg ersetzen durch eine von a aus um e^ 

 gehende Schlinge K, , die sich im j;;-ten Blatte befindet (und bei a nicht geschlossen ist), und einen darauf- 

 folgenden Zug az, der dem ry-tcn Blatte angehört, aber nirgends einen Ausnahmepunkt von j\z) uudäult. 

 Dann ist 





