196 Anton Krug, 



Umläuft in 120) .z den Punkt e^ zweimal im positiven Sinne, so soll es sich dann im r-ten Blatte befinden 

 und f,.{z) der zugehörige Zweig der Function sein. Der Integrationsweg lässt sich dann ersetzen durch zwei 

 Schlingen, die von a ausgehen und e^ je einmal im positiven Sinne umlaufen, wovon aber die erste Schlinge 

 im 2)-icü Blatte, die zweite im q-ten Blatte ist, und eine darauff(dgcnile Strecke az, die sich im r-ten Blatte 

 befindet. Man hat dann 



Umläuft jetzt z z. B. einen Unendlichkeitspunkt von ganzem positiven Exponenten, etwa den Punkt c/,, so 

 bleibt es im r-ten Blatte, nnd zu den bisherigen Integrationen tritt noch eine um c,, gehende (geschlossene) 

 Curve /C,, hinzu, welche der Strecke az vorangeht; dann ist also 





fr{()dt 



\\—n) ] iz—fy+' 



a 



Man übersieht augenblicklich, wie sich die Sache allgemein gestalten wird, wenn z beliebig viele Ver- 

 zweiguugspunkte c und beliebig viele Unendlichkeitspuukte c in beliebiger Anordnung beliebig oft umläuft. 

 Sind Ä,,4 beliebige ganze positive oder negative Zahlen und setzt man zur Abkürzung 



121)! 



Kifi(^) + ''''i'.ifi{^)+ • ■ ■ +hJA^) = fi'iz) 



dlgemein 



so hat man allgemein 



(-«)Z:i- (0-0"+' r(-«)^l- (.^-/r+' r(-,0J(e-O" 



wobei angenommen ist, dass nach allen Umläufen z zuletzt auf dem ^)'-ten Blatte ist. Setzt man noch 

 so kann man schreiben 



123) ji>'7.(^)j = i)7(^-) + ^'+s 



und man bemerkt leicht, dass dann diese Gleichung nicht nur für realH-<0, sondern .auch für beliebige 

 n gilt. 



Die singulären Punkte c und e der algebraischen Function f(z') sind hier stillschweigend alle im Endlichen 

 liegend vorausgesetzt, so dass der Punkt ~ = oo für f{z) ein gewöhnlicher Punkt ist. Eine Umkreisung des 

 unendlich fernen Punktes geschieht bekanntlich auf die Weise, dass man die Variabelc c auf der Peripherie 

 eines hinreichend grossen Kreises, der alle singulären Punkte c und e einschliesst, einmal im entgegen- 

 gesetzten Sinne herumführt. Macht nun in 120) c diese Bewegung, so bleibt es auf demselben Blatte, und die 

 Wirkung ist dieselbe, als wenn es die einzelnen Punkte c und e jeden einmal im negativen Sinne umlaufen 

 hätte, d.h. als wenn es die einzelnen Curven K,.^ und 7v> jede, auf demselben Blatte, im negativen Sinne 

 durchlaufen hätte. Dadurch eriiält das Integral in 120) den Beitrag lioo + Soo, wo 



p _ 1 V f ut)dt . 1 V r fÄt)dt 



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