Tlieorie der Derivationen. 197 



A'oo 1111(1 .S'oo siud also von derselbeu Art wie Tl iiud ,S' in 123). ^ = oo ist also aucli ein Verzweigungs- 

 punkt der Devivation und die Art der Verzweigung ist schon in 123) mit enthalten. Die Sache ändert sich 

 nicht wesentlich, wenn c = oo ein Uuendlichkeitspunkt oder Yerzwcigungspuukt der Function /'(:) ist; 

 auch dann gilt die Gleiciiung 123) noch, wenn man bei der Bildung von R und N bloss die im Endlichen 

 liegenden singulären Punkte berücksichtigt, weil eine Umkreisung von ^ = oo sich wieder zurückführen 

 lässt auf Umläufe um die im Endlichen liegenden singulären Punkte. Nimmt man hiezu die Bemerkung, dass 

 jeder gewöhnliche (und im Endlichen liegende) Punkt der Function f\z) wieder ein gewöhnlicher Punkt der 

 Derivation ist, so hat man folgenden Satz: „Die Derivation einer algebraischen Function ist unendlich viel- 

 deutig, ihre Verzweigungspunkfe sind die im Endlichen liegenden Pole und Verzweigungspunkte der alge- 

 braischen Funefion, ausserdem noch ~ =a und z^oo. Das Verhalten in der Umgebung von a ist nach 

 Gleichung 37) zu beurtheilen." 



Bezüglich des Ausdruckes R in 122) ist zu bemerken, dass sich derselbe im Allgemeinen durch eine 

 Summe von Differenzialquoticnten ausdrücken lässt, ähnlich wie bei einer rationalen Function 7',. in 118). 

 Was jedoch den Ausdruck .S' anbelangt, so lässt sich derselbe zwar nicht durch Differeuzialquotienten aus- 

 drücken, wohl aber gelingt es häufig, ihn auf eine Summe von Derivationen zurückzuführen, deren untere 

 Grenze (t und deren obere Grenzen die e^ sind. Dieser Fall tritt namentlich dann ein, wenn die algebraische 

 Function eine solche ist, dass ihre logarithmische Ableitung rational ist. oder, was dasselbe ist, wenn die 

 Quotienten der einzelnen Zweige /', {z), /^(s). . constant sind. 



Wir wollen jetzt kurz die Derivation solcher Functionen lietrachten, deren logarithmischc Ableitung 

 rational und echt gebrochen ist und in keinem Punkte von höherer als der ersten Ordnung unendlich wird. Eine 

 solche Function hat die wesentliche Eigenschaft, dass sie sich in der ganzen Zahlenebene durch ein endliches 



Product von der Form /'(;) = 1^ (^ — 9i^ '' darstellen lässt, wo die Exponenten p,, beliebig complexe Con- 

 stanten sind und die Punkte (ju natürlich sämmtlich im Endlichen liegen; sie ist im Allgemeinen unendlich 

 vielwerthig, die Quotienten der einzelnen Zweige sind aljer Constante. Wir schreiben unsere Function in 

 der Form 



' ^ ' {z—c^Y' {z—c^ Y<... {z—c^Yh {z—e^Y' {z—z^y^ . . . (£;— c,,)'"* ' 



wobei die /x ganze positive, die m dagegen beliebige complexe Zahlen sind. Dann .sind die Punkte c die 

 Unendlichkeitspunkte mit ganzen positiven Exponenten (Pole), und die e die Verzvveigungspunkte. Auf diese 

 Function sind genau die Betrachtungen des vorigen Paragraphen anwendbar und es gilt auch namentlich die 

 Formel 123), nämlich 



ji)'7(^^)|=i)/;.'(^)+ß+-s-. 



liehufs Bildung der Ausdrücke /.' und .s' bemerke man, dass hier einfach ij;,,(^) = /l/,/'(c) und ^ .(^) ;= 

 Ihf{z') ist, wo Äi, und /i,, gewisse Constanten sind, deren Werthe von der .\rt und Anzahl der Undäufe der 

 Variabelen ~ um die Punkte r \nid c abiiiingen. Ferner sei f,,. (z) z^ e~-''''^f(z), wo p ebenfalls von diesen 

 Umläufen abhängt, dann hnt man, diesen I'emerkungcn zufolge: 



r f{t)(H _ 2zrr y _A^ rOO r f{t){t-c,Y"{z-tr"-' , 



"i, (^-0"+' ~ ^(-,^) zl riiJin) 2in i {t-c,yH 



