199) Anto7i Krug, 



wobei die Caiicby'.sche Formel 4) angewendet wurde, und die Differentiation sich auf t bezielit, wofür 

 nach Ausführung der Ditferentiatioii t =z c,, zu setzen ist. Ebenso hat man: 



_ 1 y C f(t)dt _ 2iK y B, r(w,) r fi() [t—e,)"ic {z—i)-~' 



wobei die Definitionsgleichung 29) angewendet wurde. Die Derivationen beziehen sich auf / und sind 

 zwischen den Grenzen u und e,, zu nehmen, während z bei diesen Derivationen als constaut zu betrachten ist. 

 Wir haben also 



h 



+ 



1 V ^* %^*'".-' fiM—e^) 





r(-'0^r'(m,),f^ (0-0"+' 



Weil die Diflferentialquotienten nur specielle Fälle der Derivationen sind, und man stets für ganze 

 positive Indices setzen kann 



t —a 



so kann mau die vorletzte Gleichung etwas compendiijser schreiben, wenn man wieiler 



__J£L_ 



setzt, es ist nämlich dann 



m ! b' m I = .- b' m ^ ,^, ^^2"' '^ß^' 



Dadurch ist nun die Derivation einer solchen Function in Bezug auf ilire Vieldeutigkeit vollständig 

 charakterisirt, und es wäre nocli iiinzuzufügen, dass ausser den Punkten </ auch noch 2 = 00 ein Verzwei- 

 gungspunkt der Derivation ist, wie sich leicht durcii ähnliche Überlegungen ergibt, wie im vorigen Paragra- 

 phen. Es haben nämlich auch hier Umkreisungen um ^ =1 00 dieselbe Wirkung wie gewisse gleichzeitige 

 Umläufe um die einzelnen Punkte //. Das Verhalten im Punkte a ist hier wieder nach 37) zu beurtlieilen. Wir 

 haben also hier den Satz : 



„Die Derivation einer Function der eben hetrachteten Art hat ausser z ^= a und ;■ = 00 noch eben so 

 viele weitere Verzweigungspunkte als die Function Pole und Verzweignngspunkte besitzt; diejenigen Zweige, 

 welche beim Umlaufen um die Pole der Function entstehen, sind durch gewisse Diflferentiahiuotienten, die 

 Zweige aber, welche beim Umlaufen um die Verzweigungspuukte der Function entstehen, durch gewisse 

 Derivationen ausdrUckbar." 



8. 

 Wenn eine Function /(-) in der Umgehung des Ausnahmepunktes c die Darstellung gestattet 



f(z) = y~^^^G.(z—c), 

 '^ ' {z—c)f "^ '^ 



