Tfieorie der Derivationen. 100 



unter G^ {z—c) eine iunerbalb eines gewissen um c gesclilageuen Kreises cünvergeute Poteuzreibe von z—c 

 verstanden, so bat für denselben Bereich der v-te Differential quotient bekanntlicb die Form 



wo G^ {z—c) innerbalb desselben Kreises convergirt wie (?, (z—c). Zur Vervollständigung des Bisbcrigen 

 raüssen wir nun untersuclien, ob und in wiefern auch bei Derivationen ein analoger Satz gilt. 



Wir betrachten zunächst die einfache Function ^; dafür haben wir die Gleichung 114), welche, 



(z C)P 



wie man sich leicht überzeugt, auch für beliebige Ä gilt: 



JJ (^^_cy' ~ r{—n)(z—cy+-{a—cy-' L J (0—«)"+' J' 



und hier entwickeln wir das Integral nach steigenden Potenzen von z—c. Man erhält zunächst 



^n 1 v-1)"^' r , (z-cy+p .n+i\ (^ -<0"+^+' 



J^ {z—cy~l\—n){z—c)p+''{a-cy+''[ n+p \ 1 ){n+p + V){a—c) 



■^l 2 }{n+p + 2){a—cf^ J' 



worin noch c' zu bestimmen ist. Für z ■= a und reabi<0 kommt mau auf die Reihe 



_ Y{ii+p)\\—n) _ 



n + p \ 1 I H+p+\ \ 1 ln+p + 2 



i+p'^\ 1 ) n+p+\ \ 1 )n+p + 2^' ■ ■ ■ r(p) 



somit ist, da die Derivatiou in diesem Falle verschwindet, 



. X r(w+i?)r(— «) 

 c - (" ^) ■ r(p) 



wir haben also, und zwar für alle )i. die Entwicklung 



Tf^L^-i_lY\^^+P) ^ ^SJ_ + /« + l^ (^-'') 



x/ (^~_cj;- ^ ^ Lr(^>)(2— c)''+" r(— «) («— cr+''i«+iJ v i i{,n+p+\){ii—c) 



/n + 2\ (^-g)' , 



\n+p + 2){a—cf ■ ■ ■ 



-er); 



welche unlcr der doppelten Voraussetzung gilt, dass mod (0— c)<mod (a- c) und p + n keine ganze negative 

 Zahl isl. Wir wollen sie kurz in der Form schreiben 



Tt ^- = h H(z—c) , 125) 



wobei dann A eine gewisse Constantc und ll{z—c) eine, innerhalb eines mit dem Radius raod {n—v) um c 

 beschriebenen Kreises convergente Potenzreihe vorstellt. Ist aber p+ii eine ganze negative Zahl, so kommt 

 in der obigen Entwicklung ein Logarithmus vor; wir schreiben dann für diesen Fall : 



Nun betrachten wir die allgemeinere Function 



ö^ 



worin G{z — c) eine in der Umgebung von s z= c syncctischc Function bedeutet und besciirciben wir um c 

 einen Kreis, der alle anderen Aiisuahmopunkte von f(z) ausschlicsst, so ist dann G{:--c) innerhalb dieses 



