200 Anton Krug, 



Kreises nacli ganzen positiven Potenzen von z—c entwickelbar. Will man diese Functionen deriviren, so bat 

 man zu untersclieiden, ob die untere Grenze a der Derivation innerlialb dieses Kreises liegt oder ausserhalb 

 desselben. 



Liegt z in unmittelbarer Nähe von c, und a innerhalb dieses Kreises, so darf man in der Gleichung 



128) D"m=i)"7Z^,-Giß-c) 



auf die rechte Seite sofort die Formel 48) anwenden, wenn man darin <f^ (z) und Pj(ä) beziehungsweise durch 



G(z—c) und r- ersetzt; man erhält dann 



^ ^ (z~cy ' 



und wenn man für die Derivationen rechter Hand die unter 125) und 126) gefundenen Ausdrücke einsetzt, so 

 ergibt sich daraus ein Resultat von der Form 



oder 



129 d) Jf m = ^'^^^Vj+7'^ + ^2 (^-c). P + >i San^ und negativ. 



Hiebei sind G^(z — c) und G^{z — c) Potenzreihen von z — c, deren Convergenzbereieh sich bis an den 

 Punkt a ausdehnt. 



Liegt dagegen in 128) die untere Grenze a ausserhalb des Convergeuzbcreiehes von G(z — c), so lässt 

 sich diese Derivation nach 61) in zwei Theile zerlegen, deren eine Thcil eine Derivatiou ist mit der unteren 

 Grenze h, die man innerhalb dieses Couvergenzbereiches annehmen kann; dafür gelten dann die Formeln 

 12!)) und 129),, unmittelbar; der andere Theil ist aber ein bestimmtes Integral, das sich dann in der Umge- 

 bung von c nach ganzen positiven steigenden Potenzen von z — c entwickeln liisst. Es bleibt also auch für 

 diesen Fall das Resultat 129) und 129)„ formell bestehen, nur dehnt sich der Couvergeuzbereich von G^(z—c) 

 und Ctj {z — c) nicht mehr bis er aus, sondern nur bis zu jenem Ausnahmepunkte von fXz), welclier dem Punkte 

 c am nächsten liegt. 



Die Gleichungen 127), 129) und 120),, enthalten folgenden Satz: 



„Verhält sich eine Function f(z) in der Nähe Jes Punktes c so wie r~, so verhält sich deren Deri- 



l Uz c) 



valion in der Nähe dieses Punktes wie ^-- oder ^ — ^— r-, jenachdeni n + n keine ganze negative Zahl 



(s— c)-p+" {z—cy'+'' j 1 o o 



ist, oder eine solciie. p ist dabei vollständig willkürlich." 



Das ist die Verallgemeinerung des Eingangs erwähnten, die Differentialquotienten betreffenden Satzes. 



9. 



Wir wenden uns nun noch zur Betrachtung der Derivation ganzer transscendenter Functionen. Dieselben 

 sind bekanntlich durch immer convergente Potenzreilien darstellbar und auf sie können somit die Formeln 49) 

 und 5y) ohne Weiteres angewandt werden. Man erhält dadurcii die beiden Entwicklungen 



( -nVM- ^ 1 \f{z) t\z)z-a f'{z){z-ar n 



Ul\-)- iv_,„) (^_£iy4 „ „_1 1 -^ n—2 1.2 • • • -J 



lao)/ " K j \ j 



die i'ür jedes j und a gelten, weil beide Keilicn immer couvergircn. 



