TJieorie der Derivationen. 201 



Man liat also unmittelbar den Satz: 



„Die Derivation einer transscendenten ganzen Function ist demnach wieder eine tr;m';scendente gau/.e 

 Function, dividirt durch (z—a)"." [Vgl. den Satz in Paragraph 1. dieses Capitels]. 



Vergleicht man die in 130) rechter Hand vorkommenden Eeihen, so hat man, indem man o, z, — n 

 beziehungsweise durch h, v, n ersetzt, bei Anwendung von Summenzeichen folgende interessante Gleichung 



oo oo 



Zj w+Ä 1.2...A Zj w(« + l). . .(w+ZO ^ 







welche (/"als transscendente ganze Function vorausgesetzt) für alle u, v und n besteht, ausgenommen, dass 

 71 eine ganze negative Zahl ist, wo beide Seiten unendlich werden. [Ist jedocli f keine ganze transscen- 

 dente, sondern eine beliebige Function, so kann diese Gleichung 131) natürlich nur mehr für solche Werthe 

 von u und v bestehen, dass beide Reihen gleichzeitig convergiren. Die Grösse n bleibt aber immer noch will- 

 kürlich.! 



10. 



Alle bisher betrachteten Functionen haben zu dem Ergebnisse geführt, dass die Derivation solcher 

 Functionen ausser c = a und z = oo noch ebenso viele weitere Unstetigkeitspunkte besitzt, als die gegebene 

 Function derer im Endlichen hat, und dass der allgemeinste Werth der Derivation sich aus der eindeutig 

 genommenen Derivation (die für z ^z a und real«<:0 verschwindet) und gewissen zugehörigen Zweigen 

 linear mit constanten Coefficienten zusammensetzt. 



Dieser Satz gilt nun allgemein für solche Functionen, die im Endlichen, nach der Bezeichnung des 

 Paragraphen 4, Capitel I blos Unstetigkeiten erster Art besitzen, d. h. solche Unstetigkeitspunkte c, für 

 welche sich eine Zahl p von der Beschaffenheit fixiren lässt, dass für alle Annäherungsrichtungen 



Lim[(<-c)''+Y(0](,=., = 0; Lim [(i-c>'-W)](,=., = «o. 



unter rj eine beliebig kleine positive Grösse verstanden. 

 Denn man sieht leicht ein, dass in der Gleichung 



?f^'^-fh)i 





zu Unstetigkeitspunkten der Derivation ausser z = a und s = oo eben nur die Unstetigkeitspunkte der 

 Function f(t) Anla.ss geben, und dass der allgemeinste "Werth der Derivation gefunden wird, wenn man 

 rechter Hand den Integrationsweg als eine beliebige Curve voraussetzt. Diese beliebige Curve lässt sich dann 

 ersetzen durch die Strecke az, welche keine Unstetigkeitspunkte von f{t) durch- oder umläuft, der aber 

 gewisse, in a beginnende und solche Unstetigkeitspunkte umlaufende Schlingen vorangelien. Diese Schlingen 

 schliessen den Punkt ^ allemal aus, daher besteht der allgemeinste Werth der Derivation solcher Functionen 

 aus der eindeutig genommeneu Derivation und einer Summe von Curvenintegralen, die in Bezug auf z (bis auf 

 die Irrationalität e"-'"") durchaus eindeutig sind. 



Bei solchen Functionen können dann auch in a nur Unstetigkeiten erster Art auftreten und die Unstetig- 

 keit der Derivation in a ist dann ein für allemal durch die Gleichung 37) characterisirt. Indem wir nun die 

 Derivation solcher Functionen, die Unstetigkeitspunkte zweiter Art aufweisen, hier nicht mehr betrachten, 

 gehen wir gleich zu Beispielen für das Bisherige über, wobei sich auch von selbst Anwendungen auf lineare 

 Differentialgleichungen darbieten werden. 



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