202 Anton Kru<j, 



V. 



Beispiele. Anwendung auf lineare Differentialgleichungen. 



1. 



Die rationale Function 





l-f^^ 2 z+i 2 z—i 

 hat die beiden Pole z =: — / und z r= +/; mau hat demnach für dieselbe nach Formel 119) 



' rt a 



wobei die X gewisse Zahlen sind, während man für die R nach 118) findet : 



2/;r r t+i 



ZiTl r t + t 1 TT 



~ V(^i(l+t^)iz—fr^\, = .,r ~~r{—nj(z+{y+' 



j, _ 2/;r r t-i n _ k 



'~T{—n)\.{l+t^){z—tY+'\=~ r(— «)(0— /)"+* 



Sonach ist jetzt 



i ' „ 1 ) ■ „ 1 X„ TT \,t: 



l + .M J^ i_,.,2 r(—M) (.- + /)"+' V{—n)[z—iY+' 



Für « = — 1 gibt diese Gleichung das bekannte Resultat von der unendlichen Vieldeutigkeit der Function 

 arc fang z. 



Die rechter Hand stehende Derivation 



^ l+z^~2-^ z+i 2^ z—i' 



a a a 



welclie eindeutig zu nehmen ist, erlaubt mittelst Formel 110) die Darstellung 



1^^) V i,^ - 2r(— »)(2+j)»+' ['■' "^ j (0— a)«+i J 2(X—n) {z—iy+' V' ^ J (0—«)»+' J ' 



die für alle 11 giltig ist. Wollte man diese Derivation in (stets convergente) Reihen entwickelt haben, so könnte 

 man die Gleichungen 95), 96), 100), 102), 103) und 104) sofort dazu benützen, wenn man darin z und a 

 beziehungsweise durch z±i und « + ' ersetzte. Wir wollen es unterlassen, solche Reihen explicite herzu- 

 schreiben, dagegen wollen wir für diese Derivation eine lineare Differentialgleichung mit ganzen rationalen 

 Coefficientcn zu gewinnen suchen. Haben wir eine solche Differentialgleichung von möglichst niedriger 



Ordnung gefunden, der 



' 1 



als Function von z betrachtet, genügt, so muss derselben auch, wegen der Eindeutigkeit ihrer Coefficientcn, 

 der allgemeine, dreigliedrige Ausdruck 132) 



genügen, und zwar vorerst nur für gewisse X, dann auch überhaupt für bclicl)ige X. Wir schliessen daraus, 

 dass eine solche Differentialgleichung, weil ihre Lösung zwei Constantc hat, nothwendig von der zweiten 

 Ordnung ist; weiter kann man noch sagen, dass sie nicht homogen sein wird; den homogenen Theil dieser 

 Differentialgleichung, gleich Null gesetzt, werden aber die mit X^ und X, nmltiplicirten Ausdrücke einzeln 

 befriedigen. 



