Tlienrie der Derivationen. 20P) 



Die verlangte Differentialgleichung wirklich zu bilden hat nun nicht die mindeste Schwierigkeit, wir 

 kennen ja schon ihre Lösung 132), statt der man auch 133) nehmen kann, wenn man unter c, und c^ jetzt 

 beliebige Constante versteht. 



Setzt man in 133) zur Abkürzung 



r [.~+iT , T (' (z—i)" , T 



'•. -^ J (i=a)-:TT '^^ = ^. ' '■. + J {^^^^ <'= = -^^ ' 



so lautet diese Gleichung 



^'< 1 _ i «^1 l_ 'h 



und durch zweimalige Differentiation erhillf man daraus 



W/+I 1 _ «^ Ji i 'h I ^ 



"Y 1+2*^ 2 r(— n-l)(Ä+«)"+^ 2 V{—n-\){s+i)"+- r(— ")(!+-') (~—«V'+' 



' „+, 1 _i J, «■ Ji (3 ;/ + 5) z ^—a {n + 2) + » 4- 1 



D' 



l+zi - 2 l\—n—2){z+i)"+^ 2 r(_;(_2) (.-—/)"+» r{-n)(l+z^)\z—aY+ 



Eliminirt man aus diesen drei Gleichungen die beiden Integrale .7, und J,, so erhält man nach einiger 

 Reduction: 



n+^-)^'^-i:Jy. -^2f.4-2)c_p-'-^ +0^ // ^-^ =:-_— ^A^_^^ 134) 



als verlangte Differentialgleichung. Wir wollen dieselbe auch noch aul einem anderen sehr einfachen Wege 

 herleiten, der die Kenntuiss der explicite hingeschriebenen Lösung 133) nicht voraussetzt. 

 Setzt man nämlich zur Abkürzung 



1 



80 hat man daraus 



(]+s2VoJ = l. 



Derivirt man nun diese Gleichung nach der Formel 48) zum Index h + 2, indem man in letzterer ^, (^), 

 (pj(c) und« beziehungsweise durch 1+z^, üj, n+2 ersetzt, so erhält man unmittelbar 



(l+^')i)"+%3 + 2(»+2)..-.i"+'o.+ (« + l)(«+2)i)"o)=J)"+'(l); 



a a a a 



wird hierin linker Hand für oj dei Werth :; ^ gesetzt und rechter Hand die Constante 1 nach 39") derivirt, 



1+3* 



so wird diese Gleichung mit 134) identisch. Setzt man in 134) 



-'« 1 



a 



SO bat man 



(1+^-) S +2(n+2)4 4- ("^r)^>^^^)f = ,^_^^y^^z=^> 'y^^ 



zu welcher Differentialgleichung nach dem Vorhergehenden die Lösung 



136) 



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