204 Anton Krug, 



gehört. Zur bomogeuen Differentialgleichung 



137) (n.^2)'0 + 2(« + 2)32+(« + l)(;! + 2)^ = O 

 gehört demnach die Lösung 



138) ^='{zi]y^^^J^=^^' "<"^ 



wo nur der Fall n — — 1 ausgeschlossen ist. In diesem Falle wird aber 135) selbst homogen, daher ist nach 



136) hlefür 



138«) ']> — c, arc tang z + c^ « = — 1. 



Ferner lässt sich aus 135) eine homogene Differentialgleichung dritter Ordnung bilden, und deren Lösung 

 vollstäudio- anheben. Differenzirt man nämlich 135) einmal nach ~ und cliniinirt man hierauf die rechte Seite, 

 so hat man, x f"'' 'f schreibend, 



( (\+z^){z-a)'^ +[(3« + 8)^'-2«(«+3)0 + « + 2] f-^ 4- (« + 2) (3» + 7)c_(« + 3)al ^ 



( +(h + 1)(«. + 2)^X = 0. 



Hieven lautet die Lösung 



'1 c c 



140) >^ = '''-Z>"i-:^ + (^:j:^ + (~_Jv.+"<' 



auso-cnommen die Fälle n = — 1, 0, +1, 2, 3..., wo sich diese drei Particularlösungen auf blos zwei reduciren. 



Wir wollen nun auch diese drei Ausnahmsfälle erledigen. 



Im Falle « = — 1 reduciren sich von den drei Particularlösungen, die wir folgeweise mit -/i, /j «nd -/s 

 bezeichnen wollen, x, und X3 auf Constanteu. Wir setzen demnach w = — 1— ^, also 



Dann ist 



Lim [4 J''' \ — arc tang z 



LJ -1(5=0) 



eine neue Particularlösung, die wir statt Xz nehmen können. Jetzt können wir die drei Particularlösungen 



schreiben : 



" - 1 * 1 



a a 



Drückt man diese Derivationen durch das bestimmte Integral 65) aus, nämlich 



dt l r dt 



_ '^ r dt _ 1 r dt 



- r(i+d)J (T+tW^^' ' ■''•' ~ i\i) J 1 + /' '' 



und bildet man 



Xi— 



r(l + o^) _ 1 r dt r(z —t)'-U 



d ~r{i+5)j i+t' [ s J' 



80 erhält man durch Grenzübergang für = die neue Particularlösung 



l(z—t)dt 



.n 



+t' ' 



