TJieorie der Derivationen. 20") 



die wir statt Xi nelmen. Wir haben somit die Lösung 



X = c, f \^lt + Cz arc taug ^+^3 « =— 1. 140«) 



a 



Etwas einfacher gestaltet sich die Sache für « =:0, 1, 2, . . .; in diesen Fällen wird in 140) /, linear 

 abliängig von /.j und Xs- Bezeichnet v eine ganze positive Zahl oder auch Null, so setzen wir n =v— o und 



_ --,_5 1 ,_ -- „ 1 _ 1 _ ^ 



Drückt man diese Derivationen durch das Curvenintegral 29) aus, so hat man: 



_ r(v— + 1) r (<— ^)^(^^ , _ r(v+i) r 



(l+<2)(<— 2)-'+" ^ ~ 2 in •{. (l+<'')(^— s)'+*' 



worin, wie gewöhnlich, der Integrationsweg K~ von « ausgehend um z eine Schlinge bildet, die die Punkte 

 ± / ausschliesst. Bildet man nun 



r(v— a+1) , 

 "/-i r(v+i) "^- _r(v -o+i) f rf< r(< — 0)''-i -| 



so erhält man daraus durch Grenzübergang für unendlich abnehmende ^ die neue Particularlösung 



r(v+i) r i{t—z)dt 



J 



2/;r ./._(l + <^)(/-c)"+' 



die man statt x, nehmen kann; es lautet dann die vollständige Lösung von 139): 



l{f-z)dt ^ c^ ^ ^^_^_ j4(^js 



^ ~ '''|_(l+<'^)(<— 2)-'+' (« + «?+' (S— 0"+' 



Somit erscheint die Differentialgleichung 139) unter allen Umständen gelöst. 



Genau dieselben Betrachtungen, die wir in diesem Paragraphe auf die Function r—-^ anwendeten, 



1 

 lassen sich auch auf die Function -, — tt^ r- anwenden, wodurch man auch etwas allgemeinere Resultate 



(S_6)(2._c) 



erhält. 



2. 



Die zweiwerthige algebraische Function 



deren Verzweigungspunkte « = ±1 sind, liefert bei einer einmaligen Umkreisung um den Punkt +1 im 

 positiven Sinne (vergl. Paragraph 6 des vorigen Kapitels) 



und bei nochmaliger Umkreisung im selben Sinne 



1 , 1 1 [• dt 1^ r dt 



D :^rzp-( - "^ ^ VT^:? "^ i'(-«)| ^ v/i=?^(2-0"+' i'(— "■)•!. ^^ s/\-t^ {z-ty+' 



= D'' 



+1 

 1 



f v/l=? 



