206 Anton Krug, 



Zwei Umläufe uacli einander um den Punkt +1 geben demnafh dasselbe, wie kein Umlauf; und all- 

 gemeiner, eine ungerade Anzahl von Umläufen um den Punkt +1 im selben Sinne hat die Wirkung eines 

 einzigen Umlaufes, eine gerade Anzahl von solchen Umläufen hat dagegen gar keine Wirkung. Dasselbe gilt 

 auch bezüglich des Punktes — 1. Soll daher von Umläufen um diese Punkte überhaupt die Rede sein, so 

 muss deren Anzahl um jeden dieser Punkte eine ungerade sein, die wir = 1 annehmen können. Der all- 

 gemeinste Weg, den die Variabele ^ beschreiben kann, besteht demnach aus aufeinanderfolgenden ein- 

 maligen Umläufen abwechselnd um die Punkte +1 und —1. Hiebei sind aber zwei Fälle zu unterscheiden: 



Hört man mit Umkreisungen um den Punkt —1 auf, so ist f{z) — -\ , geworden und jeder Punkt 



ist gleich oft umlaufen worden. Daher ist 



( 'n 1 ) 3, /.>> j_ I '^ { ^^^ L_r ^^ 



wo l eine beliebige ganze Zahl ist. Hört man dagegen mit Umkreisungen um den Punkt -f-1 auf, so ist 



t %, 1 I _ 'n 1 x+i r dt Ä__ r dt 



Zu untersuchen wäre noch, wie sich die Sache gestaltet, wenn man umgekehrt verfährt, d. h. zuerst den 

 Punkt —1, dann den Punkt +1 u. s. f. umläuft; thut man dies aber, so kommt mau wieder auf diese beiden 

 Formeln zurück, nur steht dann — A statt 1. 



Die beiden rechter Hand vorkommenden Curvenintegrale, die wir vorübergehend mit Jj^, und J^t 

 bezeichnen wollen, sind Derivatiouen nach t zwischen den Grenzen a und ±1- Nämlich 



_ 1 (' dt _ 2iK H^"] r \ dt 



<= 

 B 



r(-«)r(')" Vt + H^-ty^^' 



<2 

 und analog ist 



1 C dt 2n '=:^-L 



J-^ = T^-r.: ■ /. .,. ^777= 7TT- D '' 



141) 



'X-«)-i-_.v/i-<n^— 0"+' r(-«)rQ '=" \//-iG— 1)"+' 



Drückt man dieselben nach G5) durch das bestimmte Integral aus, so ist weiter 



_ 2 p' dt _ 2 7-' dt_ 



Daher ist 



- 7 w 2X V dt 



r(— «) j y 1— <* {z—t)"+' 



Führt man das in die obigen Gleichungen ein, so resultirt 



) 'a v/i-.~M -r \/i-z' y{-n)j_yi-t^(,-tY+i 



(/>'■ 1 I- f)>- 1 , 2 f dt , 2^ r ^^ 



ly v/]_.M y \/\-:' IX-«) J v/i-f^(~_o«+' iX-")l \/i-t'(z-ty'+' 



