Theorie der Derivationen. 207 



wobei die Integrationen nach t nunmebr eindeutig zu nebmen sind. Für n z= — 1 bat man wieder ein 

 bekanntes Resultat. 



Um eine lineare Diflerentialglcicbung für diese Derivation berzuleitcn, werden wir uns einer Methode 

 bedienen, die auch im Folgenden fast ausschliesslich zur Geltung kommen wird. Handelt es sich nämlich 



allgemein darum, eine lineare Differentialgleichung mit ganzen rationalen Coefticienten für J)" f{z) aufzu- 



a 



stellen, so bilde man vorerst eine lineare homogene Differentialgleichung mit ganzem rationalen Coefficienten, 

 welcher f{z) genügt, und derivire dann diese Differentialgleichung, wobei die Formeln 48), 62) und 64) 



zur Anwendung zu kommen haben, dann hat man unmittelbar die verlangte Differentialgleicliung für jf f(z). 



a 



Im vorliegenden Falle bat man also zuerst die Differentialgleichung für 



1 

 \/l—z* 

 zu bilden, dieselbe lautet 



(1_^»)^='1_^,^,^0 



'dz 



oder 



(l_~»)w' — SOJ = 0. 



Derivirt man nun diese Differentialgleichung, so hat man unter Benützung von 48) 



(l—z'-)J)"'J—2nzj)"-''J—n(^i—\)j)"-'ui' 



a a a 



Z J)" OJ M J)"~ CO =: 0, 



a a 



wobei « und n beliebig sind. Weiter ist nach 62) : 



'' I 7-1"+' 



D -'=J9 



1 1 



(ji- 



I'(— «) v/l— a^(2— «)" 



+ 1 



D '^ =1) "'■ 



V{l—n) v/l— a«(^— «)" 

 und durch Einführung dieser Wcrthe geht die derivirtc Differentialgleichung über in 



.2\ Ti"+' /O 1^ T^" 2 -Ti«-' ■'■ • V ■'■ ^' 



(l—z')jy^'u^—[2n+\)zJ)'\>-n^JJ-'^^ 



V{—n) (^— «)"+' 



Setzt man zur Abkürzung 



z a 1 



so lautet also die Differentialgleichung 



2 





zu welcher, vermöge der Herlcitung, 



? = i> 



»1-1 



S/l—z" 



142) 



