210 Anton Krug, 



3. 



Die Function 



wo p eine beliebige complexe Zahl bedeute, bat den im Endlichen liegenden singuläven Punkt e = c und ist 

 eine der im Paragraph 7 des vorigen Kapitels behandelten Functionen, weil ihre logarithmische Ableitung 

 rational ist. Für einen einmaligen Umlauf der Variabelen z um den Punkt c im positiven Sinne hat man 



1 ' 1 ) ^1 1 r df 



\B\z^\=e-^^^^jf 1 i dt 



für einen zweimaligen Umlauf dagegen 



1 ) i.„, 'n 1 l+e-2.>. r fit 



dt 



und ebenso flir einen Ä-maligen Umlauf 



c 



Das letzte Integral ist aher eine Derivation, nämlich 



{^{t—cy{z-ty'+' - T{p) 2iK j^ {t—cy "n^E. (^— <)"+' ' 



somit ist schliesslich 



a {^-<^yy a 1^—'^)^ r(p) r(— «) sin?7;r ,f^ (^-0"+' 



Ist p ganz und positiv = Ä+1, so geht diese Gleichung in die unter 115) angegebene über. 

 Als lineare Differentialgleichung erster Ordnung für diese Derivation hat man nach 113), welche Glei- 

 chung auch für beliebige Ä gilt, 



V+i 1 i.n 1 



(--'^)D'-'',-— v + '«+i')D" 



{z—cy ^■'y {z—cy~V{—n) (a—cy-\z—ay+' 



Setzt man 



(z—cy~^' 



so kann man dieselbe auch schreiben 



Daraus leitet man durch Differentiation leicht die homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung ab: 



lg 7 



] 49) {z—a) {z—c) -^ + [{h+p + 1) (z—a) + ^h+ 1) (^— c)] ^ + («+ 1 ) (« +p) y = 0. 



