Theorie der Derivationen. 213 



Bevor wir aber diese Diiferentialgleiehnng mit Hilfe der Gleicliung 151) vollständig lösen, wollen wir 

 statt der Constantcn p, q und )t drei andere Constanteu a, ß und 7 mittelst der Gleicliungen 



p + q~2n ^= — a. — ß — 1 



« — p 1= 7 

 n{p + q — M+1) = — aß 



einfuhren. Daraus resultiren die beiden Werthesysteme 



w = a oder n ^= ß 



p = a— 7 p ■= ß— 7 



2 = 7— ß—1 2 = y_a:_l^ 



die sieh von einander durch die Vertauschuug von a und ß unterscheiden. Man erhält aus 152) die beiden 

 Differentialgleichungen 



mit den Particularlösungen beziehungsweise 



^(') = jr)"-'2"-T(l_s)Y-fi-' 155) 



a 



^(^^ jf~^ 2^-1(^1 -.zyi-'-K 156) 



a 



Diese Differentialgleichungen, sowie auch ihre zugehörigen Particularlösungen gehen in einander über, 

 wenn man a mit ß vertauscht, sie sind also von einander eigentlich nicht wesentlich verschieden; doch 

 wollen wir der Bequemlichkeit wegen beide Gleichungen neben einander beibehalten. 



Reducirt sich in den Ditferentialgleichungen 153) und 154) die rechte Seite auf Null, so möge linker 

 Hand <p statt ^ geschrieben werden, also 



z{l-z) 'Jl + [7_(« + ß + l)^] ''2 -aßf = 0. 157) 



Um zunächst diese Differentialgleichung zu lösen, bemerke man, dass vermöge 151) die allgemeinsten 

 Werthe von i|/(') und 1/;*^' die folgenden sind: 



a ( = y \ (=a " ) 



wo die Constanten A, B, C unter einander und auf gewisse Weise auch von «, ß und 7 abhängen. Ist die 

 untere Grenze a beliebig, so haben also die Derivationen tpW und i^C-) ausser der eindeutig genommenen Deri- 

 vation noch zwei Abzweigungen; von diesen beiden Abzweigungen kann aber die eine oder die andere ver- 

 schwinden, wenn man beziehungsweise a ^ oder « =: 1 setzt. Setzt man die untere Grenze a =z 0, so muss 

 in ifi') real (« — 7-f-l)>0 sein, damit die Function z"-"i{l — 2:)if'-P~' überhaupt derivirbar ist. Dann ver- 

 schwindet aber die mit B' multiplicirte Derivation und es bleibt : 



•^i't = J'2)°~'^=-T(l— 3)T-3-i ^ o'~jf~\^'"] real(«— 7-+-l)>0, 



