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und ebenso ist 



Anton Krug, 





und ähnlich für a = 1 



1 ,±1 («—0^ 



real(|3— 7 + l)>0, 



real(7— ß)>0, 

 real (7 — «) > 0. 



Genau unter diesen Bedingungen für a, |3, 7 und a geht aber immer eine von den beiden Differentialglei- 

 chungen (153) und 154) in die homogene Differentialgleichung 157) über, daher ist 



<f — <f/(') für a— 



= -|/(2) für « = 



= ^W für a = 1 



= ^m für a = 1 



real ( a — 7 + 1 ) > 

 real(/3— 7 + l)>0 

 real(7— ß)>0 

 real (7 — «) > 0. 



Da nun aber die Differentialgleichung 157) homogen ist, so kann man an Stelle der in tf<') und i//'^' vor- 

 kommenden, zwar nicht ganz willkürlichen Constanten Ä', A" u. s. w. nunmehr willkürliche Constanten 

 setzen, und somit lautet die Lösung von 157): 



^ = C,i)"-'.»-T(l_.)T-P-.+c, 'i^~'j^. 



f = Cij)^'~'z^'-<{1— Z)T -'■-' + l 



158)< 



= 1 /3— r 



o — Y ^ 



B 



D 



{z-tf 



(z—t)'' 



real (a — 7 + I) >0 

 real(|3— 7 -+-!)> 

 real (7 — ß) > 



1 



1 (=1 '^ '' 



Man sieht, dass hiemit alle möglichen Fälle erschöpft sind, da von den vier Zusatzbedingungen immer 

 eine erfüllt sein muss; ja es sind sogar immer wenigstens zwei erfüllt, und das führt auf lineare Beziehungen 

 zwischen den vorkommenden Derivationen, die man a posteriori verificiren kann, wenn man zu den betref- 

 fenden Integraldarstellungen übergeht. 



Wir können indess diese Lösungen 158) auch noch in eine andere Form bringen. Setzt man z. B. 

 real (1 — a)>0 voraus, so hat man durch Integraldarstellung 



V ^ ^ -r(i-«)J {z-ty 



dt, 



und wenn man jetzt rechter Hand t =: 

 schreibt : 



Z M 



dt 



1—z 



—idu substituirt, und dann wieder / statt u 



2)"-'2'-T(l_2)T-ß-' 



u 



(1— m) 



(1— ^^-^--ß ^"t-'d—tf 

 -r(i 



-«) J i^—' 



t) 



^-a 



dt, 



