216 Anton Krug, 



Lässt mau in 151) die untere Grenze a nach oo convergiren, was nach 71) unter der Voraussetzung 

 real (n—j) — q) > für jedes £ gestattet ist, so erhält man ein Resultat von der Form 



( = 1 



und nun wollen wir zeigen, dass zwischen den drei Derivationeu rechter Hand eine lineare Beziehung besteht. 

 In der That ist für einen unendlich grossen um den Nullpunkt beschriebenen Kreis Q als Integrationsweg 



r(«+i) r^(i— /)9 , ,^ ,, . ^ 



weil jedes Element des Integranden unter der gemachten Voraussetzung real(w — ^; — 5)>0 verschwindet. 

 Nun lässt sich aber dieser Integrationsweg ß ersetzen durch die drei Schlingen ii], L'^ und Q,, welche auf 

 demselben Blatte liegen, daher ist auch 



r(w+i) C t»a-t)^ r(:n+i) C tpji-ty r{n+i) f t^{i-ty _ 



' Z Q 1 



und durch Derivationen ausgedrückt erhält man leicht mit Hinzusetzung des Factors 



v{n+iy 



als die verlangte lineare Beziehung. 



Setzt man nun in 153) und 155) real|3:>0, desgleichen in 154) und 156) real a > voraus, und lässt 

 man a nach oo convergiren, so werden die beiden Differentialgleichungen homogen und mit 157) identisch; 

 die Lösungen lauten daher 



y=:c,2)'-'.'-r(l_.).-;^-'+c, X)^— '^\;^ ^e,D'-<-±— . realß>0 



) y = c.i)'-'.3-r(l_.)T-^-. +c, 'b'-'-' ^^^f^ + ^-s'S-^T^ real«>0. 



oo r = oo y^ ^) ,= oo ^^ '') 



Die drei Particularlösungen reduciren sich wegen 160) auf blos zwei. Dieses System 161) ergänzt das 

 unter 159) angegebene. Auch das System 161) lässt sich umformen. Setzt man nämlich realM<0 voraus, 

 80 hat man durch Integraldarstellung 



1 Wi'(l— <)? 



n ^(1 ^)-r(_^)J(^_,)n+.^^ 



oo 



1 U 1 Z 



und hier gibt die Substitution t = z -.dt^i z ^ du, wenn man wieder t statt u schreibt, 



z — H (z — uy ' 



gHq+n)T ' tJil—t^Pdt 



TfzJ'{\—z)i=z—, r5;?-"(l— 2)?-" ,. .' ^, 



wofür auch geschrieben werden kann 



162) jfzP{\—z)i=: e'-(2+")-. Ü^;p^Z:^.2P-»(l_^)7-'. jf+'-''z^{\—zy 



oo ' ( '*) oo 



real (« — p — j) > ; real w < 0. 



